[Tatt]

Моля за помощ за следната задача: Намерете цифрата х така, че числата 179х и 2310 да са взаимно прости.
Благодаря.

Няма стойност на х за която числата 179х и 2310 да са взаимно прости.

Разлагаме 2310 на прости множители: 2310 = 2*3*5*7*11

Разглеждаме последователно множителите му, тъй като те не могат да са множители и на 179х
2:    2 не може да е множител и оттук следва че х не е четно. т.е. х може да е = 1,3,5,7 или 9
3:    3 не може да е множител и оттук следва че х не е 1 или 7, остава х = 3,5 или 9
5:    5 не може да е множител и оттук следва че х не е 5, остава х = 3 или 9
7:    7 не може да е множител и оттук следва че х не е 9 (1799 = 257*7), остава х = 3 
11: 11 не може да е множител и оттук следва че х не е и 3 (1793 = 163*11 ).

[stella77]

Благодаря.

[pen.d_va]

Моля за помощ!
Дадени са 4 последователни естествени числа, по-малки от 3000. Първото се дели на 4, второто на 7, третото на 10, а най-голямото на 13. Колко може да бъде най-малкото число.
В решението пише: Нека х е най-малкото число, тогава 3х-4(Защо? ) се дели на 4  7  10  и 13.

[Ant12]

Моля за помощ!
Дадени са 4 последователни естествени числа, по-малки от 3000. Първото се дели на 4, второто на 7, третото на 10, а най-голямото на 13. Колко може да бъде най-малкото число.
В решението пише: Нека х е най-малкото число, тогава 3х-4(Защо? ) се дели на 4  7  10  и 13.

От условието следва, че съществуват цели неотрицателни числа a, b, c, d такива, че
x = 4a = 7b + 6 = 10c + 8 = 13d + 10.

Следователно
3x – 4 = 3.4a – 4 = 3.(7b + 6) – 4 = 3.(10c + 8) – 4 = 3.(13d + 10) – 4,
3x – 4 = 12a – 4 = 21b + 14 = 30c + 20 = 39d + 26,
3x – 4 = 4(3a – 1) = 7(3b + 2) = 10(3c + 2) = 13(3d + 2).

Тук въпросът е: „Как точно ми хрумва, че 3x – 4 се дели на 4, 7, 10 и 13?”, което всъщност е есенцията на посоченото решение.

Може би идеята е да се търси израз от вида mx – n, който се дели на 4, 7, 10 и 13 и следователно се дели на НОК (4, 7, 10, 13) = 1820.

mx – n = 4ma – n = 7mb + 6m – n = 10mc + 8m – n = 13md + 10m – n
mx – n = 4ma – n = 7m(b + 1) – (m + n) = 10m(c + 1) – (2m + n) = 13m(d + 1) – (3m + n)

Следователно n се дели на 4, m + n се дели на 7, 2m + n се дели на 10 и 3m + n се дели на 13.

Веднага се вижда, че m = 3 и n = 4 изпълняват условието, откъдето идва и идеята да се работи с 3x – 4.

Не знам обаче дали този подход може да се ползва и при други подобни задачи.


Ето един доста по-трудоемък начин, с доста сметки, който обаче не зависи от някакво „прозрение”.

Нека а = 7е + r_e, където r_e = 0, 1, 2, . . . , 6 е остатъкът при делението на а на 7.

x = 4a = 7b + 6   =>   4(7е + r_e) = 7b + 6   =>   4r_e – 6 = 7(b – 4e)   =>   4r_e – 6 се дели на 7.
Понеже r_e = 0, 1, 2, . . . , 6, единствената възможност е r_e = 5, т.е. а = 7е + 5 и x = 4a = 28e + 20.

x = 28e + 20 = 10c + 8   =>   28e + 12 = 10c   =>   14e + 6 = 5c.

Нека e = 5f + r_f, където r_f = 0, 1, 2, 3, 4 е остатъкът при делението на e на 5.

14(5f + r_f) + 6 = 5c   =>   14r_f + 6 = 5(c – 14d)   =>   14r_f + 6 се дели на 5.   
Понеже r_f = 0, 1, 2, 3, 4, единствената възможност е r_f = 1, т.е. e = 5f + 1 и x = 28e + 20 = 140f + 48.

x = 140f + 48 = 13d + 10   =>   140f + 38 = 13d 

Нека f = 13g + r_g, където r_g = 0, 1, 2, . . . , 12 е остатъкът при делението на g на 13.

140(13g + r_g) + 38 = 13d   =>   140r_g + 38 = 13(d – 140g)   =>   140r_g + 38 се дели на 13.
Понеже r_g = 0, 1, 2, . . . , 12, (тук са многото проверки) единствената възможност е r_g = 4, т.е. f = 13g + 4 и x = 140f + 48 = 140(13g + 4) + 48 = 1820g + 608.

При g = 0, 1 се получава x = 608, 2428, а при g ≥ 2, x > 3000.

Действително 608 = 4×152, 609 = 7×87, 610 = 10×61, 611 = 13×47 и
2428 = 4×607, 2429 = 7×347, 2430 = 10×243, 2431 = 13×187.
 
А иначе това е просто система от модулни уравнения
x ≡ 0 (mod 4), x + 1 ≡ 0 (mod 7), x + 2 ≡ 0 (mod 10), x + 3 ≡ 0 (mod 13).   

[pen.d_va]

Ant12, много благодаря за изчерпателния отговор. "Вече и аз разбрах"   

[Ant12]

Може би идеята е да се търси израз от вида mx – n, който се дели на 4, 7, 10 и 13 и следователно се дели на НОК (4, 7, 10, 13) = 1820.

Стана ми интересно дали тази идея може да се ползва като стандартен подход. Докато гледах „България търси талант”, в която възрастен господин подреждаше перо и пръчки в равновесие и в края, на която ром на средна възраст танцуваше брейк, ми хрумна, че в някои стандартни случаи може.

Задачи от подобен род се дават предимно в периода 5-7 клас и затова ще предложа алгоритъм за решение при задачи с конкретни числа.

Да разгледаме следната задача: да се намери най-малкото естествено число N такова, че числата N, N + 1, N + 2, . . . , N + k се делят съответно на числата a, a + d, a + 2d, . . . , a + kd, където а и d са взаимно прости.

Алгоритъмът в този случай е: търсим най-малкото естествено число r такова, че
d × N – a = r × НОК (a, a + d, a + 2d, . . . , a + kd).

Пример 1:
Да се намери най-малкото естествено число N такова, че N се дели на 7, N + 1 – на 13 и N + 2 на 19.

Понеже 13 = 7 + 1.6, 19 = 7 + 2.6 и НОК (7, 13, 19) = 1729, търсим най-малкото r такова, че
6N – 7 = r × 1729. При r = 1, 2, 3, 4, няма решение, а при r = 5 получаваме N = 1442.

Тогава решението ще бъде: забелязваме, че 6N – 7 се дели на 7, 13 и 19 . . .

Пример 2:
Да се намери най-малкото естествено число N такова, че N се дели на 2, N + 1 – на 5, N + 2 на 8 и N + 3 на 11.

Понеже 5 = 2 + 1.3, 8 = 2 + 2.3, 11 = 2 + 3.3 и НОК (2, 5, 8, 11) = 440, търсим най-малкото r такова, че
3N – 2 = r × 440. При r = 1 няма решение, а при r = 2 получаваме N = 294.

Тогава решението ще бъде: Забелязваме, че 3N – 2 се дели на 2, 5, 8 и 11 . . .
 
Пример 3:
Да се намери най-малкото естествено число N такова, че N се дели на 9, N + 1 – на 10 и N + 2 на 11.

Понеже 10 = 9 + 1.1, 11 = 9 + 2.1 и НОК (9, 10, 11) = 990, търсим най-малкото r такова, че
N – 9 = r × 990. При r = 1 получаваме N = 999.

Тогава решението ще бъде: забелязваме, че N – 9 се дели на 9, 10 и 11 . . .

[Tatt]

Тук въпросът е: „Как точно ми хрумва, че 3x – 4 се дели на 4, 7, 10 и 13?”, което всъщност е есенцията на посоченото решение.

В по-малките класове постоянно търсят зависимости и следващото числа.
При 4, 7, 10 и 13 имаме 4, 4+1*3, 4+2*3, 4+3*3
По условие:
x       се дели на 4
x + 1 се дели на 4 + 3*1
x + 2 се дели на 4 + 3*2
x + 3 се дели на 4 + 3*3

Оттук бихме могли да се "сетим" да умножим последователните числа *3 за да "махнем" 3*1, 3*2 и 3*3
3*x          се дели на 4
3*x + 3*1 се дели на 4 + 3*1
3*x + 3*2 се дели на 4 + 3*2
3*x + 3*3 се дели на 4 + 3*3
откъдето излиза че 3*x има остатък 4 при деление на 4,7,10 и 13.
т.е. 3*x-4 се дели на 4,7,10 и 13

За общия случай:
N       ≡ 0 ≡ a          (mod a)
N + 1 ≡ 0 ≡ a + 1*d (mod a+1*d)
N + 2 ≡ 0 ≡ a + 2*d (mod a+2*d)
...
N + k ≡ 0 ≡ a + k*d (mod a+k*d)  

След умножение на първите сравнения с d получаваме:

d*N          ≡ d*0 ≡ 0 ≡ a          (mod a)
d*N + 1*d ≡ d*0 ≡ 0 ≡ a + 1*d (mod a+1*d)
d*N + 2*d ≡ d*0 ≡ 0 ≡ a + 2*d (mod a+2*d)
...
d*N + k*d ≡ d*0 ≡ 0 ≡ a + k*d (mod a+k*d)  

оттук:

d*N ≡ a (mod a)
d*N ≡ a (mod a+1*d)
d*N ≡ a (mod a+2*d)
...
d*N ≡ a (mod a+k*d)  

т.е. d*N - а се дели на а, a+1*d, ... a+к*d

[aleksandra42]

Може ли помощ за следната задача:В турнир по баскетбол за победа се дава 1т.,за равен -0т.,за загуба-се взема 1т.Няколко ученици участвали в турнира,така че всеки е играл с всеки от останалите по една игра.Един от тях събрал 7т,а друг-20т.Докажете че в турнира е имало поне един равен мач.

[Tatt]

Примерно така:

Сумата от точките на всички участници е 0, тъй като сумата от точките от всяка среща на 2-ма участника помежду им е 0 ( 1-1 или 0+0 ).
Предполагаме, че няма равни мачове. Разделяме участниците на 2 групи: в първата двамата с известни точки, в другата всички останали. Разглеждаме сумата от точките на участниците в двете групи. В първата е 7 - 20 = -13,  във втората трябва да бъде 13 за да бъде общата сума 0.
Разглеждаме всеки един от участниците във втората група. Възможностие са следните:
  А Победил е и двамата от първата група. Тогава той носи 1+1=2 т.за своята група.
  Б Паднал е и от двамата. Носи -1-1=-2 точки.
  В Паднал е от единия и победил другия. Носи 1-1=0 точки.
Забелязваме, че всеки допринася с четно число точки за своята група, а общия брой е 13 => противоречие с допускането, че няма равни мачове.

[Г.Георгиева]

Моля за решение на задача от пети клас, Математика без граници: Произведението на пет последователни цели числа завършва точно на две нули. Кое е възможното най-голямо число сред тези числа, ако произведението е най-малкото възможно? Отговорът е 25, но не знам как да стигна до него.

[gorkia]

Щом завършва на две нули => числото е от вида х*100. Значи се дели на 25
Точно едно от числата: а;(а+1);(а+2);(а+3);(а+4) се дели на 5.
Не може две от тези числа да се делят на 5 => едно от числата се дели на 25.
За да е най-малко произведението трябва а+4 да е възможно най-малко
=> а+4=25          Отговор:25

[Г.Георгиева]

Много Ви благодаря!

[Алек]

Искам да питам за 2 задачи от НОМ 2008.
1: намерете всички естествени числа n, за които 4ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ е точен квадрат на естествено число.
2:През фиксирана точка О от вътрешността на даден ъгъл с връх А е построена произволна права g, пресичаща раменете на ъгъла в точки B и C. Докажете че 1/S_ABO + 1/S_ACO не зависи от избора на правата g.

[Ant12]

Искам да питам за 2 задачи от НОМ 2008.
1: намерете всички естествени числа n, за които 4ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ е точен квадрат на естествено число.
2:През фиксирана точка О от вътрешността на даден ъгъл с връх А е построена произволна права g, пресичаща раменете на ъгъла в точки B и C. Докажете че 1/S_ABO + 1/S_ACO не зависи от избора на правата g.

Нека M² = 4ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ. М² е четно и понеже е точен квадрат, следователно се дели на 4.
M² = 4ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ ≡ 0ⁿ + 1ⁿ + (-1)ⁿ ≡ 1 + (-1)ⁿ (mod 4)    =>   n е нечетно,
т.е. n = 2m + 1, за някое цяло неотрицателно число m.   

M² = 4ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ = 4.16^m + 5.25^m + 7.49^m ≡ 4.1^m + 7.(-1)^m (mod 5).
Ако m е четно   =>   4.1^m + 7.(-1)^m ≡ 4 + 7 ≡ 1 (mod 5).
Ако m е нечетно   =>   4.1^m + 7.(-1)^m ≡ 4 – 7 = -3 ≡ 2 (mod 5).
При М ≡ 0, 1, 2, 3, 4 (mod 5)   =>   М² ≡ 0, 1, 4, 4, 1 (mod 5)    =>
m е четно, т.е m = 2k, за някое цяло неотрицателно число k.   
 
M² = 4.16^m + 5.25^m + 7.49^m = 4.256^k + 5.625^k + 7.2401^k.

Да допуснем, че k ≥ 1.
625 ≡ 1 (mod 16) => 5.625^k ≡ 5 (mod 16), 2401 ≡ 1 (mod 16) => 7.2401^k ≡ 7 (mod 16) =>       
M² = 4.256^k + 5.625^k + 7.2401^k ≡ 0 + 5 + 7 ≡ 12 (mod 16).

Ако:
М = 8k   =>   M² = 64k² ≡ 0 (mod 16);
М = 8k ⁺/_- 1   =>   M² = 64k^{2 +}/_- 16k² + 1 ≡ 1 (mod 16);
М = 8k +/- 2   =>   M² = 64k^{2 +}/_- 32k₂ + 4 ≡ 4 (mod 16);
М = 8k +/- 3   =>   M² = 64k^{2 +}/_- 48k² + 9 ≡ 9 (mod 16);
М = 8k + 4   =>   M² = 64k² + 64k² + 16 ≡ 0 (mod 16).

Достигнахме до противоречие с допускането, че k ≥ 1   =>   k = 0.

Следователно n = 2m + 1 = 2.2k + 1 = 1.

Действително 4¹ + 5¹ + 7¹ = 16 = 4².