0 Потребители и 2 Гости преглежда(т) тази тема.

*

Неактивен EliG

  • 134
  • Пол: Жена
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #196 -: 12.11.2015, 21:33 »
Много благодаря за решението!!

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #197 -: 13.12.2015, 23:13 »
Моля за помощ!
Да се докаже, че 18877+19988+19999+200010, не е точен квадрат на естествено число.

*

Неактивен gorkia

  • 43
  • Пол: Мъж
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #198 -: 14.12.2015, 16:14 »
Моля за помощ!
Да се докаже, че 18877+19988+19999+200010, не е точен квадрат на естествено число.
Разгледайте остатъците при деление с 4.

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #199 -: 10.01.2016, 15:23 »
Моля за помощ за решението на следната задача:


2014: а = b ( ост. с)
a, b, c = ? ако те са страни на равнобедрен триъгълник т.е. а=b или a=с или b=c

*

Неактивен Ant12

  • 234
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #200 -: 10.01.2016, 22:35 »
Отгoвор:
a = b = 38, c = 52, 2014 : 52 = 38 (остатък 38).

Решение:
Нека бедрата на триъгълника са равни на b, а основата му е равна на с.
От неравенството на триъгълника получаваме c < b + b = 2b.

Имаме три комбинации за b и с като делител (Д), частно (Ч) и остатък (О).
Д     Ч     О
b      b      c
b      c      b
c      b      b

Комбинацията Д = О = b е невъзможна, защото делителя е винаги по-голям от остатъка.

Случай 1: Д = Ч = b и О = с (b > c).
2014 : b = b (остатък с), т.е. 2014 = b.b + c = b2 + c.
b2 < b2 + c < b2 + 2b < b2 + 2b + 1 = (b + 1)2, т.е. b2 < 2014 < (b + 1)2.
От друга страна, 442 = 1936 < 2014 < 2025 = 452 и следователно b = 44.
Тогава c = 2014 – b2 = 2014 – 442 = 2014 – 1936 = 78 > 44.
Получихме, че остатъка (78) е по-голям от делителя (44), а това е невъзможно – противоречие. 

Случай 2: Д = с и Ч = О = b (c > b).
2014 : c = b (остатък b), т.е. 2014 = c.b + b = b(c + 1).
2014 = 2.19.53 и то може да се представи като произведение на двa множителя точно по 4 различни начина така, че първия множител да бъде по-малък от втория (b < c < c + 1):
2014 = 1.2014 = 2.1007 = 19.106 = 38.53 = b(c + 1).
От тези двойки, само двойката b = 38 и c = 52 (c + 1 = 53) изпълнява условието b < c < 2b.

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #201 -: 11.01.2016, 11:45 »
 :thankyou-Благодаря Ви много!

*

Неактивен tutikristi

  • 2
  • Пол: Жена
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #202 -: 19.01.2016, 15:32 »
Здравейте! Може ли малко помощ за следната задача с 2 подточки?
1. а)
Да се докаже, че ако a и b са взаимнопрости естествени числа, чието произведение е точен квадрат, то и а и  b са точни квадрати.
б) Да се докаже, че ако a и b са взаимнопрости естествени числа, за които ab=xk, k>=2 и х са естествени числа, то a=xk1 и b=xk2, където х1 и х2 са цели числа, за които х1х2=x.

*

Неактивен Ant12

  • 234
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #203 -: 20.01.2016, 21:52 »
Page 6, Proposition 17. от следния материал:
https://www.math.ust.hk/~mabfchen/Math2721/Week9-10.pdf

Page 19, Theorem 2.7. от следния материал:
http://www.math.nyu.edu/faculty/hausner/primes.pdf
 
Това са добре известни математически факти, които в състезанията за по-големи ученици обикновено се използват наготово, без доказателство.

Доказателството им е свързано с директно прилагане на основната теорема на аритметиката и каноничното разлагане на числата на прости множители.



*

Неактивен Virgil

  • 1
  • Пол: Мъж
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #204 -: 1.02.2016, 14:11 »
Тема за взаимопомощ за решаване на интересни задачи.

Моля, помагайте ако ви хрумне решение на публикувана задача.
Аз съм 7 клас и незнам защо се затрудних на лесна задача считам ,че на нея всички отговори не са възможни затова помощ :
Кое уравнение има решение ?
A) |x|=-2015           Б)2015.x-2015x=0
B) -x.x-2015=0        Г)2015-x=x-2015

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #205 -: 1.02.2016, 14:51 »
Здравейте, имам курсова задача, да изследвам и да направя графика на функция.
Ще съм благодарен, ако някой има подобна решена или може да ми помогне. Благодаря!


*

Неактивен Ant12

  • 234
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #206 -: 3.02.2016, 19:23 »
Олимпиада, областен, IX клас, зад. 4.

Отговор: n = 7.

Нека числата са a1b1c1, a2b2c2, . . . , anbncn.
Ясно е, че n ≤ 9.

Цифрите а1, а2, . . . , аn са различни цифри измежду цифрите 1, 2, . . . , 9
и нека an+1, . . . , a9 са неизползваните от тези цифри в някакъв ред.

Аналогично, цифрите b1, b2, . . . , bn са различни цифри измежду цифрите 0, 1, 2, . . . , 9
и нека bn+1, . . . , b10 са неизползваните от тези цифри в някакъв ред.

По същия начин дефинираме и цифрите cn+1, . . . , c10.

a1 + а2 + . . . + аn + an+1 + . . . + a9 = 1 + 2 + . . . + 9 = 45
a1 + а2 + . . . + аn = 45 – (an+1 + . . . + a9)

Аналогично,
b1 + b2 + . . . + bn = 45 – (bn+1 + . . . + b10) и
c1 + c2 + . . . + cn = 45 – (cn+1 + . . . + c10).

Следователно,
a1 + а2 + . . . + аn + b1 + b2 + . . . + bn + c1 + c2 + . . . + cn =
= 135 – (an+1 + . . . + a9 + bn+1 + . . . + b10 + cn+1 + . . . + c10).

От друга страна, 
a1 + а2 + . . . + аn + b1 + b2 + . . . + bn + c1 + c2 + . . . + cn = 18n.

Получаваме, че
an+1 + . . . + a9 + bn+1 + . . . + b10 + cn+1 + . . . + c10 = 135 – 18n.

Лявата страна на горното равенство е неотрицателна и следователно
и 135 – 18n ≥ 0 и понеже n е естествено, то n ≤ 7.

Сега трябва да намерим пример при n = 7.

Записваме всички трицифрени числа със сума от цифрите равна на 18 така, че всички числа с еднаква цифра на стотиците да са в един ред, всички числа с еднаква цифра на единиците да са в една колона и всички числа с еднаква цифра на десетиците да са в един диагонал с посока горе/ляво – долу/дясно.

189   198
279   288   297
369   378   387   396
459   468   477   486   495
549   558   567   576   585   596
639   648   657   666   675   684   693
729   738   747   756   765   774   783   792
819   828   837   846   855   864   873   882   891
909   918   927   936   945   954   963   972   981   990

От всеки ред, от всяка колона и от всеки диагонал горе/ляво – долу/дясно може да изберем най-много по едно число. Най-лесно става, като разглеждаме числа разположени по диагонал с посока горе/дясно – долу/ляво.

Двете групи числа:

387          396
468          477
549          558
693          639
774          783
855          864
936          945

изпълняват изискването. 

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #207 -: 5.02.2016, 15:50 »
1.При събиране на две числа Даша пропуснала нулата в края на едното събираемо и сумата се получила 2013 вместо правилния сбор 3012. Намерете по-голямото от двете числа, които тя трябва да събере?
2.Дължината на кръгов стадион е 400 метра. Трима бегачи стартирали едновременно по посока на часовниковата стрелка, всеки с постоянна скорост. Първият бегач пробягал 20 км, вторият – 19 км, третият – 18 км. Колко пъти по време на това състезание един от бегачите е изпреварвал друг?
3.Намерете най-малкия брой цифри, от които поне една цифра влиза в десетичния запис на естественото число N или в 3N.
4.Петя поставя във върховете на куб неотрицателни числа, така че сумата от числата на всяка стена на куба е 10. Каква най-голяма стойност може да има сборът на три числа във върховете на куба, свързани с ръб с някой връх А?

моля за помощ !!!
благодаря предварително
 :help  :help  :help  :help

Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #208 -: 5.02.2016, 20:18 »
Моля за помощ. Не разбирам защо в решението на 1 задача от темата за 7 клас на областния кръг на олимпиадата по математика през 2016 година, при x=y, са посочени решенията-1,2,3,6, при положение че x+y=a^2.

*

Неактивен Ant12

  • 234
Re: Помощ за решения на задачи
« Отговор #209 -: 5.02.2016, 22:52 »
1.При събиране на две числа Даша пропуснала нулата в края на едното събираемо и сумата се получила 2013 вместо правилния сбор 3012. Намерете по-голямото от двете числа, които тя трябва да събере?
2.Дължината на кръгов стадион е 400 метра. Трима бегачи стартирали едновременно по посока на часовниковата стрелка, всеки с постоянна скорост. Първият бегач пробягал 20 км, вторият – 19 км, третият – 18 км. Колко пъти по време на това състезание един от бегачите е изпреварвал друг?
3.Намерете най-малкия брой цифри, от които поне една цифра влиза в десетичния запис на естественото число N или в 3N.
4.Петя поставя във върховете на куб неотрицателни числа, така че сумата от числата на всяка стена на куба е 10. Каква най-голяма стойност може да има сборът на три числа във върховете на куба, свързани с ръб с някой връх А?

моля за помощ !!!
благодаря предварително
 :help  :help  :help  :help

1.   Отг.: 1902.
x + y = 2013 и 10x + y = 3012   =>   9x = 3012 – 2013 = 999   =>   x = 111 и y = 1902.
111 + 1902 = 2013 и 1110 + 1902 = 3012. (Ако след числото х допишем 0, се получава числото 10х.)

2.   Отг.: 8.
В решението ще предполагам, че тримата бегачи са бягали едно и също време t. В противен случай, ако са бягали съответните разстояния за различни времена, няма еднозначен отговор.

Нека бегач А е пробягал 20 км и съответно е направил 20000 : 400 = 50 обиколки, бегач В е пробягал 19 км и съответно е направил 19000 : 400 = 47,5 обиколки и бегач С е пробягал 18 км и съответно е направил 18000 : 400 = 45 обиколки.

Тогава А е пробягал 2,5 обиколки повече от В и следователно го е настигнал и изпреварил 2 пъти. За да си го представим по-лесно, нека предположим, че пистата се върти в посока обратна на часовниковата стрелка със скорост равна на скороста, с която бяга В. Тогава В реално стои на едно място, докато А прави 2,5 обиколки спрямо В, като го подминава два пъти.

Аналогично, В е направил 2,5 обиколки повече от С и следователно В изпреварва С два пъти.

А прави 5 обиколки повече от С и следователно го настига пет пъти, но когато А завършва 50-тата си обиколка, С завършва своята 45-та, т.е. при петото настигане нямаме изпреварване и следователно А изпреварва С четири пъти.

3.   Отг.: 3 цифри.
Ще докажем, че в десетичния запис на числата N и 3N (общо), винаги присъства поне една от цифрите 1, 2 или 3.

Ако първата цифра на N е 1, 2 или 3, условието е изпълнено.

Ако първата цифра на N e 4 или 5, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
4.10k ≤ N < 6.10k   =>   12.10k ≤ 3N < 18.10k   =>   първата цифра на 3N е 1.

Ако първата цифра на N e 6 или 7, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
6.10k ≤ N < 8.10k   =>   18.10k ≤ 3N < 24.10k   =>   първата цифра на 3N е или 1 или 2.

Ако първата цифра на N e 8 или 9, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
8.10k ≤ N < 10k+1   =>   24.10k ≤ 3N < 3.10k+1 = 30.10к    =>   първата цифра на 3N е 2.

За да е пълно решението, трябва да покажем, че не съществува двойка цифри (a, b), a < b, за която в десетичния запис на N и 3N се съдържа поне една от цифрите а или b.

За всяка една от двойките цифри (0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (0, 9), (1, 2), . . . , (7, 9), (8, 9) съществува контра-пример.

Например, при N = 2 и 3N = 6 се елиминират всички от горните двойки, които не съдържат поне едно от тези две числа.

4.   Отг.: 15.
Нека е даден куб ABCDEFGH (като от върха А излизат ребрата АВ, AD и АЕ) и нека във върховете A, B, C, D, E, F, G, H са записани съответно целите неотрицателни числа a, b, c, d, e, f, g, h.

Тогава,
b + d ≤ a + b + c + d = 10,
b + e ≤ a + b + f + e = 10,
d + e ≤ a + d + h + e = 10,
откъдето b + d + b + e + d + e ≤ 30, т.е. b + d + e ≤ 15.

Действително, при a = c = f = h = 0 и b = d = e = g = 5 се постига b + d + e = 15. 
« Последна редакция: 5.02.2016, 23:11 от Ant12 »