[aleksandra42]

Моля да ми помогнете за следната задача:
Съществуват ли 6 последователни числа,такива че НОК на първите три от тях е по-голямо от НОК на следващите три?

[Алек]

Ако 6-те последователни числа са a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, то HOK(a; a+1; a+2)>HOK(a+3; a+4; a+5) е спазено, когато а е нечетно и когато а>9.
Това е така, защото точно в една от групите а, а+1, а+2 и а+3, а+4, а+5 всички числа са взаимно прости, а в другата има 2 четни числа. Ако в първата група са 2-те четни числа то няма как да се спази условите затова  2-те четни числа са във втората група и затова а е нечетно.

[Ant12]

Философията на задачата е в решението, което Алек е посочил по-горе.

Всъщност, за самото решение е достатъчно да се даде пример:
НОК(11, 12, 13) = 11.12.13 = 1 716
НОК(14, 15, 16) = ½.(14.15.16) = 1 680.

Лесно се доказва по-силното твърдение: ако n > 10 е нечетно естествено число, то НОК(n, n+1, n+2) > НОК(n+3, n+4, n+5).

От тази задача състезателите трябва да запомнят следното:
Ако n e нечетно, то НОК(n, n+1, n+2) = n.(n+1).(n+2), а ако
n е четно, то НОК(n, n+1, n+2) = ½. n.(n+1).(n+2).

Важно е да се знае и равенството:

a × b × c = [НОК (a, b, c) × НОД (a, b) × НОД (b, c) × НОД (c, a)] / НОД(a, b, c)

[aleksandra42]

Много ви благодаря! Надявам се да не съм нахална,но ви моля за още една задача:
Колко са двойките естествени числа,които имат НОК,равно на 2000?

[Ant12]

Нека m и n са естествени числа и НОК (m, n) = 2000 = 2⁴.5³.

Следователно, за числата m и n е в сила:
• могат да имат за прости делители само числата 2 и 5;
• не могат да се делят на степен на 2, по-голяма от 2⁴ и не могат да се делят на степен на 5, по-голяма от 5³;
• поне едно от числата трябва да съдържа множител 2⁴ и поне едно от числата трябва да съдържа множител 5³.

1-ви случай. Едно от числата, например m (по условие няма изискване двойките да са наредени) съдържа едновременно множителите 2⁴ и 5³, т.е. m = 2⁴.5³. 

Тогава n има вида n = 2^a.5^b, където a = 0, 1, 2, 3, 4 и b = 0, 1, 2, 3 и следователно имаме 5.4 = 20 възможни стойности за n (5 възможни стойности за а и 4 за b).

2-ри случай. Нито едно от числата не съдържа едновременно множителите 2⁴ и 5³.

Нека m = 2⁴.5^c и n = 2^d.5³, където c = 0, 1, 2 и d = 0, 1, 2, 3.

В този случай имаме 3.4 = 12 възможности (3 възможни стойности за c и 4 за d).

Общо има 20 + 12 = 32 двойки числа, които имат НОК равно на 2000.

[aleksandra42]

  Моля,помогнете ми за следната задача:
Докажете че 65 дели 2+2на втора степен +2на трета степен +2 на четвърта степен........+2 на 2004степен?

[muro04]

Идеята на тези задачи е събираемите да се групират по подходящ начин.
Например: 65 дели 2 + 2 на седма (2+128=130)
Дели и 2 на втора плюс 2 на осма (това е предното по 2)
Дели и 2 на трета плюс 2 на девета ... и така нататък.

[aleksandra42]

Моля,помогнете ми за тази задача:
N e обикневено  число,ако има нечетен брой различни  начина за представяне на N като сбор на две или повече последователни числа.
Колко са обикновените числа по-малки от 2012?

[Дидева]

Моля,помогнете ми за тази задача:
N e обикневено  число,ако има нечетен брой различни  начина за представяне на N като сбор на две или повече последователни числа.
Колко са обикновените числа по-малки от 2012?

http://estoyanov.net/files/sastezania/emt_2012_re6.pdf

[Masteria]

Здравейте,
моля за помощ при решението на зад. 20, 21 и 25 от ЧХ 2012 г. за 7-8 клас!

[Ant12]

20.

n² + 4n + 18 = n² + 4n + 4 + 14 = (n + 2)² + 2.7

Нека допуснем, че 49 / (n + 2)² + 2.7   =>   7 / (n + 2)² + 2.7   =>   7 / (n + 2)²   =>  7/(n + 2), защото 7 е просто   =>   49 / (n + 2)²   =>   49 / 2.7   =>   противоречие.

Действително: 7² + 4.7 + 18 = 95 = 5.19; 9² + 4.9 + 18 = 135 = 3.45 = 5.27; 4² + 4.4 + 18 = 50 = 2.25. 

21.

Всяка цифра след първата може да приема само стойностите 0, 2, 4, 5, 6, 8, защото в противен случай ще има двуцифрено число, което завършва на 1, 3, 7 или 9, а такова число не се дели нито на 4, нито на 5.

Следователно, числото не може да има повече от 7 цифри и нека то е abcdefg, където а е някоя от цифрите 1, 3, 7, 9, и b, c, d, e, f, g са 0, 2, 4, 5, 6, 8 в някакъв ред.   

Започваме да подреждаме цифрите. Най-голямата възможна стойност за а e 9, за b – 6 (96 = 24.4), за c – 8 (68 = 17.4), за d – 5 (85 = 17.5), за e – 2 (52 = 13.4), за f – 4 (24 = 6.4), за g – 0 (40 = 8.5).

Числото е 9 685 240, е = 2.                 

22.

Нека разгледаме възможните конфигурации от трима души и какво казват те, ако средния е лъжец и как ще се промени казаното, ако средния пие от Серума.

Л – (И) – Л – (И) – Л      =>      Л – (Л) – И – (Л) – Л           
Л – (И) – Л – (Л) – И      =>      Л – (Л) – И – (И) – И       
И – (Л) – Л – (И) – Л      =>      И – (И) – И – (Л) – Л       
И – (Л) – Л – (Л) – И      =>      И – (И) – И – (И) – И       

Ясно се вижда, че след като един лъжец пие от Серума, броя на отговорите „лъжец” се увеличава с 2, остава същия или намалява с 2.

Следователно, след като трима от лъжците пият от серума, броя на отговорите „лъжец” може да бъде само: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

[Masteria]

Ant, благодаря за решенията!

[KOD]

Не е точно математика, моля за мнение за 25-а задача от ЧХ 2009 г.
Какъв е казуса - хлапето е определило, че търсения в отговора град е такъв м/у Пловдив и Ямбол.
По маршрута са дадени като възможни отговори Стара Загора, Пазарджик, Поморие, Шумен, Грудово.
Не искам да го оправдавам, че не знае кой град след кой следва при маршрут София, Пловдив, Ямбол, Бургас, Варна, В. Търново, но... в крайна сметка, това е състезание по математика - коректна ли е задачата според вас?

[heisenbug]

Погледнахме задачката с Матей, той я обяви за много лесна. Това не значи естествено, че е коректна (примерно пътят на въпросния камион не би трябвало да минава през Пазарджик). На мен лично ми хареса, без да ангажирам никого с мнение. Напомни ми на тази класика  

През 1904г. баби от Софийско равно поле тръгнали едновременно по изгрев слънце: едната от А за В, другата от В за А (по една и съща пътека с постоянни скорости). В 12 часа те се разминали. Едната пристигнала в 4 ч следобед, а другата - в 9 ч вечерта. Какво си откъснали бабите по пътя?

А) кокичета
Б) свежа коприва
В) диви ягодки
Г) меки мушмули
Д) банани