(5/10 . 5/9 + 5/10 . 5/9) ×
× (4/8 . 4/7 + 4/8 . 4/7) ×
× (3/6 . 3/5 + 3/6 . 3/5) ×
× (2/4 . 2/3 + 2/4 . 2/3) =
= 5/9 × 4/7 × 3/5 × 2/3 =
= 8/63
8 + 63 = 71.
P.S. Ако не се ориентираш, в събота ще го разпиша по-подробно.
Решението на tinkerbell, като че ли е „най-бързо”.
Решение, което обяснява формулата по-горе и е „стандартно”.
Вероятността първите две извадени топки да са разноцветни е равна на
сумата от следните две вероятности:
• вероятността първата извадена топка да е бяла, а втората – черна;
• вероятността първата извадена топка да е черна, а втората – бяла,
защото трябва да се случи
или едното събитие
или другото.
Вероятността първата извадена топка да е бяла, а втората да е черна е равна на
произведението от следните две вероятности:
• вероятността първата извадена топка да е бяла;
• вероятността втората извадена топка да е черна при условие, че първата извадена е бяла,
защото трябва да се случи
и едното събитие
и другото.
Вероятността първата извадена топка да е бяла е равна на 5/10 = 1/2, защото в кутията има 10 топки, 5 от които са бели.
Вероятността втората извадена топка да е черна е равна на 5/9, защото в кутията има 9 топки (една бяла вече е извадена), 5 от които са черни.
Следователно, вероятността първата извадена топка да е бяла, а втората да е черна е равна на 1/2 × 5/9 = 5/18.
Аналогично, вероятността първата извадена топка да е черна, а втората да е бяла също е равна на 5/18.
Тогава, вероятността първите две извадени топки да са разноцветни е равна на 5/18 + 5/18 = 5/9.
В кутията вече има 4 топки, 4 от които са бели и 4 – черни. Повтаряме горните разсъждения.
Вероятността третата извадена топка да е бяла е равна на 4/8 = 1/2, защото в кутията има 8 топки, 4 от които са бели.
Вероятността четвъртата извадена топка да е черна е равна на 4/7, защото в кутията има 7 топки (две бели и една черна вече са извадени), 4 от които са черни.
Следователно, вероятността третата извадена топка да е бяла, а четвъртата да е черна е равна на 1/2 × 4/7 = 2/7.
Аналогично, вероятността третата извадена топка да е черна, а четвъртата да е бяла също е равна на 2/7.
Тогава, вероятността третата и четвъртата извадени топки да са разноцветни е равна на 2/7 + 2/7 = 4/7.
С аналогични разсъждения получаваме, че вероятноста петата и шестата топка да са разноцветни е 3/5 и седмата и осмата да са разноцветни е 2/3.