1.При събиране на две числа Даша пропуснала нулата в края на едното събираемо и сумата се получила 2013 вместо правилния сбор 3012. Намерете по-голямото от двете числа, които тя трябва да събере?
2.Дължината на кръгов стадион е 400 метра. Трима бегачи стартирали едновременно по посока на часовниковата стрелка, всеки с постоянна скорост. Първият бегач пробягал 20 км, вторият – 19 км, третият – 18 км. Колко пъти по време на това състезание един от бегачите е изпреварвал друг?
3.Намерете най-малкия брой цифри, от които поне една цифра влиза в десетичния запис на естественото число N или в 3N.
4.Петя поставя във върховете на куб неотрицателни числа, така че сумата от числата на всяка стена на куба е 10. Каква най-голяма стойност може да има сборът на три числа във върховете на куба, свързани с ръб с някой връх А?
моля за помощ !!!
благодаря предварително
1. Отг.: 1902.
x + y = 2013 и 10x + y = 3012 => 9x = 3012 – 2013 = 999 => x = 111 и y = 1902.
111 + 1902 = 2013 и 1110 + 1902 = 3012. (Ако след числото х допишем 0, се получава числото 10х.)
2. Отг.: 8.
В решението ще предполагам, че тримата бегачи са бягали едно и също време t. В противен случай, ако са бягали съответните разстояния за различни времена, няма еднозначен отговор.
Нека бегач А е пробягал 20 км и съответно е направил 20000 : 400 = 50 обиколки, бегач В е пробягал 19 км и съответно е направил 19000 : 400 = 47,5 обиколки и бегач С е пробягал 18 км и съответно е направил 18000 : 400 = 45 обиколки.
Тогава А е пробягал 2,5 обиколки повече от В и следователно го е настигнал и изпреварил 2 пъти. За да си го представим по-лесно, нека предположим, че пистата се върти в посока обратна на часовниковата стрелка със скорост равна на скороста, с която бяга В. Тогава В реално стои на едно място, докато А прави 2,5 обиколки спрямо В, като го подминава два пъти.
Аналогично, В е направил 2,5 обиколки повече от С и следователно В изпреварва С два пъти.
А прави 5 обиколки повече от С и следователно го настига пет пъти, но когато А завършва 50-тата си обиколка, С завършва своята 45-та, т.е. при петото настигане нямаме изпреварване и следователно А изпреварва С четири пъти.
3. Отг.: 3 цифри.
Ще докажем, че в десетичния запис на числата N и 3N (общо), винаги присъства поне една от цифрите 1, 2 или 3.
Ако първата цифра на N е 1, 2 или 3, условието е изпълнено.
Ако първата цифра на N e 4 или 5, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
4.10
k ≤ N < 6.10
k => 12.10
k ≤ 3N < 18.10
k => първата цифра на 3N е 1.
Ако първата цифра на N e 6 или 7, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
6.10
k ≤ N < 8.10
k => 18.10
k ≤ 3N < 24.10
k => първата цифра на 3N е или 1 или 2.
Ако първата цифра на N e 8 или 9, то съществува цяло неотрицателно число k такова, че
8.10
k ≤ N < 10
k+1 => 24.10
k ≤ 3N < 3.10
k+1 = 30.10
к => първата цифра на 3N е 2.
За да е пълно решението, трябва да покажем, че не съществува двойка цифри (a, b), a < b, за която в десетичния запис на N и 3N се съдържа поне една от цифрите а или b.
За всяка една от двойките цифри (0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (0, 9), (1, 2), . . . , (7, 9), (8, 9) съществува контра-пример.
Например, при N = 2 и 3N = 6 се елиминират всички от горните двойки, които не съдържат поне едно от тези две числа.
4. Отг.: 15.
Нека е даден куб ABCDEFGH (като от върха А излизат ребрата АВ, AD и АЕ) и нека във върховете A, B, C, D, E, F, G, H са записани съответно целите неотрицателни числа a, b, c, d, e, f, g, h.
Тогава,
b + d ≤ a + b + c + d = 10,
b + e ≤ a + b + f + e = 10,
d + e ≤ a + d + h + e = 10,
откъдето b + d + b + e + d + e ≤ 30, т.е. b + d + e ≤ 15.
Действително, при a = c = f = h = 0 и b = d = e = g = 5 се постига b + d + e = 15.