Мноого тежки задачи за 9 клас...
3 задача:
Дадени са числата 1!, 2!,....,2017!. Колко най-малко трябва да се изтрият за да бъде произведението на останалите точен квадрат
Отговор: 2 – 1008! и 2017!
2017 е просто число и следователно 2017! трябва да се изтрие, защото в каноничното разлагане на произведението на факториелите то е на 1-ва степен.
Използвайки методиката в тази задача:
http://forum.alekdimitrov.com/index.php/topic,59454.70.html(« Отговор #80 -: 14.12.2014, 20:04 »)
Получаваме, че
2016! × 2015! × 2014! × . . . × 4! × 3! × 2! × 1! =
= 1008! × (2
1008 × 2015! × 2013! × 2011! × . . . × 3! × 1!)
2 За да бъде горното произведение точен квадрат, трябва 1008! да бъде точен квадрат.
От друга страна най-високата степен на 11, която дели 1008! e
[1008/11] + [1008/121] = 91 + 8 = 99, т.е. е нечетна и следователно 1008! не може да е точен квадрат.