Тук публикувам задачите от 3-я кръг на Олимпиадата зa 7-ми клас, с които разполагам. Ще се радвам, ако някой публикува и от други години.
2008
1. Да се намерят всички естествени числа n, за които числото 4n + 5n + 7n е точен квадрат на естествено число.
2. През фиксирана точка О от вътрешността на даден ъгъл с връх А е построена произволна права g, пресичаща раменете на ъгъла в точки В и С. Ако SABO и SACO са съответно лицата на триъгълниците АВО и АСО, да се докаже, че сумата 1/SABO + 1/SACO не зависи от избора на правата g.
3. В шампионат по хандбал участват n отбора от различни градове. Всеки ден два от отборите гостуват на трети отбор, играят по един мач с него, както и по един мач помежду си (мачове „на неутрален терен”). В това време останалите отбори почиват. При приключване на шампионата всеки отбор трябва да е бил домакин еднакъв брой пъти, като всеки два отбора трябва да са играли точно един мач помежду си. Определете възможно най-малката стойност на n.
2009
1. Ако p и q са прости числа, по-големи от 3, да се докаже, че числото М = 7p2 – 5q2 – 2 се дели на 24.
2. Дадени са два правоъгълника ABCD и AMNP, такива че AM = AD и AP = AB. Ако точката М лежи на страната ВС, а страните CD и MN се пресичат в точка Q, да се докаже, че QB = QP.
3. Квадратна таблица 4×4 ще наричаме „латинска”, ако във всяка клетка на таблицата е записана по една от цифрите 1, 2, 3 или 4, като във всеки ред и стълб всяка от цифрите се среща само по веднъж. Латинската таблица наричаме „оцветима”, ако клетките могат да се оцветят в синьо, червено, жълто и зелено, така че във всеки ред и стълб да няма две едноцветни клетки и всяка от цифрите се среща в таблицата само в разноцветни клетки. (Например, цифрата 2 не може да се среща в две сини клетки.)
а) Дайте примери за оцветима таблица и за латинска таблица, която не е оцветима.
б) Колко са всички оцветявания за дадена оцветима таблица?
в) Колко са всички оцветими таблици?
г) Колко са всички латински таблици, които не са оцветими?
2012
1. В триъгълника АВС точките M и N от страната АВ са такива, че AM = AC, BN = BC и <MCN = 50o.
a) Да се намери <АСВ.
б) Ако МР║АС (Р е вътрешна за ВС) и NQ║BC (Q е вътрешна за АС), да се намерят ъглите на ΔPQC.
2. Да се намерят всички неотрицателни цели числа n, за които числото an = 600 . . . 04 (n цифри 0) е точен квадрат.
3. По окръжност са засадени n дървета, 11 < n < 2013. На всяко дърво с боя е написано число, равно на общия брой листа на това дърво и на следващите 11 дървета по посока на часовниковата стрелка. Всяко от тези числа, освен едно от тях, е с 1 по-малко от числото на следващото дърво по часовниковата стрелка. Да се определи броят на всички n, за които това е възможно.
2013
1. Дадено е уравнението (ax – 1)2 + a(1 – x)2 = a(x – 1)(1 + x), където а е рационален параметър.
а) Намерете най-голямата стойност на а, за която уравнението има рационален корен.
б) Намерете целите стойности на а, за които уравнението има корени и тези корени са цели числа.
2. Отсечката AL е ъглополовяща в ΔABC, за който <АСВ = 90о, АС = 15 см, ВС = 36 см, АВ = 39 см.Точка Н е петата на перпендикуляра от очка В към правата AL. Намерете лицето на ΔCLH.
3. В редица са посадени 2013 цветя през разстояния от един метър. Пчела тръгва от някое от тях и с 2012 полета посещава всяко по веднъж. Колко най-много от полетите ѝ са с дължина 6 метра, ако дължината на всеки от 2012-те полета е:
а) от 3 до 9 метра?
б) от 4 до 12 метра?