[aleksandra42]

Благодаря!Оказа  се елементарна!

[aleksandra42]

Моля за още една задача:
В басейн плуват двама спортисти.Започват едновременно от единия край на басейна и завършват,когато са за първи път в един от краищата.Първият преплува една дължина за 11секунди,а вторият-за 30 секунди.Колко изпреварвания е имало?

[Ant12]

Отг. 18 изпреварвания.

Ще наричаме „старт” краят на басейна, от който двамата плувци започват и „финал” срещуположния край.

Двамата плувци ще бъдат едновременно в някой край на басейна, не непременно един и същ, след брой секунди кратен на НОК (11, 30) = 330 сек.

След 330 сек, първият ще е преплувал 30 дължини и ще се намира на старта, а втория ще е преплувал 11 дължини и ще се намира на финала.

Следователно, двамата плувци ще се намират за пръв път едновременно в един и същ край след 660 сек, когато и двамата ще достигнат старта, като първия ще е преплувал 60 дължини, а втория – 22.

Ще наричаме последователност от две дължини старт – финал – старт „обиколка” на басейна.

За 660 сек първият плувец ще направи 30 обиколки на басейна, а втория – 11.

Следователно, първият ще успее да настигне втория 19 пъти, но понеже последното настигане ще бъде след 660 сек на старта, когато и двамата финишират, то броя на изпреварванията е с 1 по-малко, т.е. 18.

За да си го представим по-лесно, това е все едно вторият да стои неподвижно на старта, докато първия прави 19 обиколки.


Задачата може да се реши и по алгебричен начин.

Нека v е скоростта на първия в м/сек. Тогава скоростта на втория ще бъде ¹¹/₃₀v м/сек, дължината на басейна – 11v метра и една обиколка – 22v метра. Нека n е броя на изпреварванията, където n е естествено число.

Нека едно изпреварване се случва след t сек, където 0 < t < 660, защото след 660 сек плувците финишират.

Едно изпреварване настъпва тогава, когато разликата от разстоянията преплувани съответно от първия и втория е равна на цяло число обиколки на басейна.

v.t – ¹¹/₃₀v.t = n.22v     =>     t = ⁶⁶⁰/₁₉.n     =>

0 < ⁶⁶⁰/₁₉.n < 660     =>     0 < n < 19, но n е естествено.

Следователно, n може да приема 18 различни стойности.

[aleksandra42]

Много благодаря! 

[muro04]

Четвърта задача за осми клас от Есенния математически турнир не ми дава мира.
Моля, кажете къде е грешката в твърденията:
1. Страните на един триъгълник представляват отсечки.
2. Една отсечка може да бъде страна на най-много два различни равностранни триъгълника в една равнина.

[aleksandra42]

Моля,помогнете ми за една задача:
Обиколката на успоредник е 1,6 дм,а дължините на страните му в сантиметри са четни числа.Една от височините на успоредника е 45мм.Върху страната AD е взета точка M,а точка K е от отсечката BM и 3BK е равно на 2KM.Да се намерят лицата на триъгълниците BCK и ADK.

[Ant12]

Нека е дадена отсечката А₁А_n и нека върху нея са взети вътрешни точки А₂, А₃, . . . , А_n-1, в последователност от А₁ към A_n. Всяка от отсечките А_iA_j, 1 ≤ i < j ≤ n (общо n(n – 1)/2 на брой отсечки) може да бъде страна на поне 2 равностранни триъгълника, т.е. „върху” отсечката A₁A_n може да имаме n(n – 1) равностранни триъгълника.

Може би, задачата щеше да бъде по-ясно формулирана, ако вместо да се чертаят отсечки, се поставяха пръчки, кибритени клечки, клечки за зъби и т.н.

Есенцията е в „начертала” отсечки и „колко най-много”. Ани може да начертае една отсечка А₁А_n, но може и да начертае n – 1 отсечки A₁A₂, A₂A₃, . . , A_n-1A_n. Първият вариант е по-ефективен.     

[muro04]

Обиколката на успоредник е 1,6 дм,а дължините на страните му в сантиметри са четни числа.

Значи сумата от две съседни страни е 8 см и те са или 4 и 4 см, или 2 и 6 см.

Една от височините на успоредника е 45мм.

Значи страните не могат да бъдат 4 и 4. Една от тях е хипотенуза в триъгълник с катет 45мм и тя трябва да е по-голяма, значи е 6 см.
Височината от 45 мм е към страната 2 см -> лицето на успоредника е 9 кв.см.
Сега, ако си представим, че М съвпада с А, К лежи на AB  и разделя AB в съотношение 3:2.
Тогава лицето на BCK е (1/2).(2/5).лицето на ABCD , т.е. 1.8 кв.см.
А лицето на ADK е (1/2).(3/5).лицето на ABCD , т.е. 2.7 кв.см.

[muro04]

А пък според мен ако Ани начертае две отсечки, които се пресичат, значи е начертала 6 отсечки.

[Ant12]

А според мен, не. Тя начертава първо А₁А₂, след това начертава В₁В₂ и ако А₁А₂ и В₁В₂ се пресичат в т. О, на практика на чертежа вече има 6 отсечки (А₁А₂, А₁О, ОА₂, В₁В₂, В₁О, ОВ₂), но това не променя факта, че Ани е начертала точно 2 отсечки, а не 6.

P.S. Може би, формулировка с кибритени клечки би била по-точна. Ани ще постави точно 2 клечки, но формираните от крайните и пресечната точки отсечки биха били 6.

Разбира се, тук може да си играем с понятието начертава. Ако Ани е начертала А₁А₂ (появява се 1 отсечка), след като почне да чертае В₁В₂ се появяват 2, като стигне до О се появяват 4 и като завърши в В₂, вече имаме 6 отсечки. Но . . .  

[muro04]

Както и да е.
За мен показателен за тази задача е броят на децата, получили повече от 1 точка.

[Ant12]

Всъщност, най-голямата трудност в тази задача е в самото описание, по простата причина, че децата на тази възраст не разполагат с достатъчно богат математически речник за да я опишат свободно. Мога да се обзаложа, че от гледна точка на терминология, нито едно от пълните и частичните решения на състезателите дори не се доближава до официалното решение.

[Г.Георгиева]

Здравейте, бих искала да попитам за критерия за класиране за областен кръг на олимпиадата по математика за четвърти клас, да видим дали има смисъл да се надяваме . Знам, че не е по темата, но и в другите теми не е подходящо като въпрос, така че предварително се извинявам.

[KOD]

Здравейте, бих искала да попитам за критерия за класиране за областен кръг на олимпиадата по математика за четвърти клас, да видим дали има смисъл да се надяваме . Знам, че не е по темата, но и в другите теми не е подходящо като въпрос, така че предварително се извинявам.

16+ точки