Моля за помощ!
Дадени са 4 последователни естествени числа, по-малки от 3000. Първото се дели на 4, второто на 7, третото на 10, а най-голямото на 13. Колко може да бъде най-малкото число.
В решението пише: Нека х е най-малкото число, тогава 3х-4(Защо? ) се дели на 4 7 10 и 13.
От условието следва, че съществуват цели неотрицателни числа a, b, c, d такива, че
x = 4a = 7b + 6 = 10c + 8 = 13d + 10.
Следователно
3x – 4 = 3.4a – 4 = 3.(7b + 6) – 4 = 3.(10c + 8) – 4 = 3.(13d + 10) – 4,
3x – 4 = 12a – 4 = 21b + 14 = 30c + 20 = 39d + 26,
3x – 4 = 4(3a – 1) = 7(3b + 2) = 10(3c + 2) = 13(3d + 2).
Тук въпросът е: „Как точно ми хрумва, че 3x – 4 се дели на 4, 7, 10 и 13?”, което всъщност е есенцията на посоченото решение.
Може би идеята е да се търси израз от вида mx – n, който се дели на 4, 7, 10 и 13 и следователно се дели на НОК (4, 7, 10, 13) = 1820.
mx – n = 4ma – n = 7mb + 6m – n = 10mc + 8m – n = 13md + 10m – n
mx – n = 4ma – n = 7m(b + 1) – (m + n) = 10m(c + 1) – (2m + n) = 13m(d + 1) – (3m + n)
Следователно n се дели на 4, m + n се дели на 7, 2m + n се дели на 10 и 3m + n се дели на 13.
Веднага се вижда, че m = 3 и n = 4 изпълняват условието, откъдето идва и идеята да се работи с 3x – 4.
Не знам обаче дали този подход може да се ползва и при други подобни задачи.
Ето един доста по-трудоемък начин, с доста сметки, който обаче не зависи от някакво „прозрение”.
Нека а = 7е + r
e, където r
e = 0, 1, 2, . . . , 6 е остатъкът при делението на а на 7.
x = 4a = 7b + 6 => 4(7е + r
e) = 7b + 6 => 4r
e – 6 = 7(b – 4e) => 4r
e – 6 се дели на 7.
Понеже r
e = 0, 1, 2, . . . , 6, единствената възможност е r
e = 5, т.е. а = 7е + 5 и x = 4a = 28e + 20.
x = 28e + 20 = 10c + 8 => 28e + 12 = 10c => 14e + 6 = 5c.
Нека e = 5f + r
f, където r
f = 0, 1, 2, 3, 4 е остатъкът при делението на e на 5.
14(5f + r
f) + 6 = 5c => 14r
f + 6 = 5(c – 14d) => 14r
f + 6 се дели на 5.
Понеже r
f = 0, 1, 2, 3, 4, единствената възможност е r
f = 1, т.е. e = 5f + 1 и x = 28e + 20 = 140f + 48.
x = 140f + 48 = 13d + 10 => 140f + 38 = 13d
Нека f = 13g + r
g, където r
g = 0, 1, 2, . . . , 12 е остатъкът при делението на g на 13.
140(13g + r
g) + 38 = 13d => 140r
g + 38 = 13(d – 140g) => 140r
g + 38 се дели на 13.
Понеже r
g = 0, 1, 2, . . . , 12, (тук са многото проверки) единствената възможност е r
g = 4, т.е. f = 13g + 4 и x = 140f + 48 = 140(13g + 4) + 48 = 1820g + 608.
При g = 0, 1 се получава x = 608, 2428, а при g ≥ 2, x > 3000.
Действително 608 = 4×152, 609 = 7×87, 610 = 10×61, 611 = 13×47 и
2428 = 4×607, 2429 = 7×347, 2430 = 10×243, 2431 = 13×187.
А иначе това е просто система от модулни уравнения
x ≡ 0 (mod 4), x + 1 ≡ 0 (mod 7), x + 2 ≡ 0 (mod 10), x + 3 ≡ 0 (mod 13).