[Ant12]

Решения 7-ми клас:

Зад. 1 През точка C построяваме права успоредна на правата AD, която пресича основата АВ в точка Х.

От AD║XC (по построение) и AХ║CD => AXCD е успоредник => XC = AD => BC = 2AD = 2XC.

От AXCD е успоредник => AX = CD и от АВ > CD (по условие) => Х е вътрешна точка за основата АВ.

От AD║XC => <BXC = < BAD => <BXC + <XBC = <BAD + < АВС = 120^о => <ХСВ = 180^о – (<BXC + <XBC) = 60^о.

Нека У е средата на страната ВС, тогава УС = ВС/2 = ХС. От <ХСУ = < ХСВ = 60^о и УС = ХС => ΔХУС е равностранен => ХУ = УС = ВУ => ΔХВУ е равнобедрен и от <ХУВ = 180^о - < ХУС = 120^о => <АВС = <ХВУ = (180^о - <ХУВ)/2 = 30^о => <BAD = 120^o - <ABC = 90^o => <BCD = 180^o - <ABC = 150^o и <ADC = 180^o - <BAD = 90^o.    


Зад. 2 10ху + 16х + 5у = 2006 => 10ху + 16х + 5у + 8 = 2006 + 8 = 2014 = 2.19.53 =>

10ху + 5у + 16х + 8 = 2.19.53 =>  5у(2х + 1) + 8(2х + 1) = 2.19.53 =>

(2х + 1)(5у + 8) = 2.19.53.
Понеже 2х + 1 е нечетно имаме 8 варианта: 2х + 1 = -19.53, -53, -19, -1, 1, 19, 53, 19.53 и съответно
5у + 8 = -2, -2.19, -2.53, -2.19.53, 2.19.53, 2.53, 2.19, 2.

След проверка, само при два от вариантите се получават целочислени решения:
2х + 1 = -19.53 и 5у + 8 = -2 => х = -504 и у = -2;
2х + 1 = 53 и 5у + 8 = 2.19 => х = 26 и у = 6.


Зад. 3 а) А = 3.2²⁰¹³ = (2²⁰¹³ – 1) + 2²⁰¹³ + (2²⁰¹³ + 1).

б) Нека А = 3.2²⁰¹³ = n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + k), където n ≥ 1 и k ≥ 1 са естествени числа и
n, n+ 1, n + 2, . . . , n + k са последователни естествени числа (k + 1 на брой).

А = 3.2²⁰¹³ = n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + k) = n(k + 1) + (1 + 2 + . . . + k) =
=n(k + 1) + [k(k + 1)]/2 =>

2n(k + 1) + k(k + 1) = 2.3.2²⁰¹³ = 3.2²⁰¹⁴ => (2n + k)(k + 1) = 3.2²⁰¹⁴

Нека k = 2m е четно (m е естествено) => (2n + 2m)(2m + 1) = 3.2²⁰¹⁴ => (n + m)(2m + 1) = 3.2²⁰¹³.
2m + 1 / 3.2²⁰¹³ и понеже 2m + 1 e нечетно => 2m + 1 / 3 и понеже 2m + 1 > 1 => 2m + 1 = 3 =>
m = 1 => k = 2 => (n + 1).3 = 3.2²⁰¹³ => n = 2²⁰¹³ – 1 =>
А = 3.2²⁰¹³ = n + (n + 1) + (n + 2) + . . . + (n + k) = n + (n + 1) + (n + 2) = (2²⁰¹³ – 1) + 2²⁰¹³ + (2²⁰¹³ + 1) е единственото представяне.

Нека k = 2m – 1 е нечетно (m е естествено) => (2n + 2m – 1)(2m – 1 + 1) = 3.2²⁰¹⁴ =>
(2n + 2m – 1).2m = 3.2²⁰¹⁴ => (2n + 2m – 1).m = 3.2²⁰¹³ => (2n + 2m – 1) / 3.2²⁰¹³
и понеже 2n + 2m – 1 е нечетно => (2n + 2m – 1) / 3 и понеже 2n + 2m – 1 ≥ 2.1 + 2.1 – 1 = 3
и следователно 2n + 2m – 1 = 3 => n + m = 2 и понеже n и m са естествени => n = m = 1.
От друга страна обаче (2n + 2m – 1).m = (2.1 + 2.1 – 1).1 = 3 < 3.2²⁰¹³ – противоречие.

Следователно единственото представяне е А = (2²⁰¹³ – 1) + 2²⁰¹³ + (2²⁰¹³ + 1).        
 
    

[polybib]

Отговори 4ти клас - според дъщеря ми
1 зад. - 580лв остават
2 зад. - 144кв.мм; правоъгълникът се разрязва на квадрат 12/12, правоъгълник 12/88, правоъгълник 100/88мм
3 зад. - 19 начина (лично на мен са ми малко съмнителни)
Ако някой друг е решил задачите - нека сравним

[Палечко]

Преди 2 седмици пътувах с автобус до Пампорово и един чичо през целия път ни развличаше с хъркане.
Горките пътници утре в автобуса за Русе, няма да им е по-скучно с тумба малки математици, обсъждащи задачи

))) доколкото знам, автобуса ще е само за тях

[KOD]

))) доколкото знам, автобуса ще е само за тях

Това за МГ Варна ли е? Гъзарчета, хем ви е близо, хем с частен автобус

[Палечко]

Това за МГ Варна ли е? Гъзарчета, хем ви е близо, хем с частен автобус

Варна - да 

[Jeorjina]

Отговор на 3 задача за 4 клас според моя ученик: 25 куба
Ч + Б
8 + 0 = 1 вариант
7 + 1 = 1 вариант
6 + 2 = 3 варианта
5 + 3 = 4 варианта
4 + 4 = 7 варианта

Така се повтаря и в другата разцветка, т.е 9 + 9 = 18 в двете разцветки + 7 = 25

Споделете вашите отговори!
 

[wizi]

Отговор на 3 задача за 4 клас според моя ученик: 25 куба
Ч + Б
8 + 0 = 1 вариант
7 + 1 = 1 вариант
6 + 2 = 3 варианта
5 + 3 = 4 варианта
4 + 4 = 7 варианта

Така се повтаря и в другата разцветка, т.е 9 + 9 = 18 в двете разцветки + 7 = 25

Споделете вашите отговори!
 

5+3=4 варианта - А кой е четвъртия вариант - намирам само три

напр.
1-ви вариант:
горен ред  Б-Б
                \  \
                 Ч-Б

долен ред  Ч-Ч
                 \  \
                  Ч-Ч
-------------------
2-ри вариант
горен ред  Б-Б
                \  \
                 Ч-Ч

долен ред  Ч-Ч
                 \  \
                  Ч-Б
-------------------
3-ти вариант
горен ред  Б-Ч
                \  \
                 Ч-Б

долен ред  Ч-Б
                 \  \
                  Ч-Ч

[Симеон Йорданов]

Здравейте,получил съм същите отг. като Алек но 3б реших по малко по-различен начин:2901-2014=887 НОК на 6(г) и 25(г) е 150. 150:6=25 и 150:25=6 => за 25 монетипо 1 заменяме зя същото тегло 6 монети по 10 и със всяка операция прибавяме 35, но понеже няма друга възможна операция с която да прибавим различен брой фридове ,а 887 не се дели на 35.=> не може

[KOD]

Здравейте,получил съм същите отг. като Алек но 3б реших по малко по-различен начин:2901-2014=887 НОК на 6(г) и 25(г) е 150. 150:6=25 и 150:25=6 => за 25 монетипо 1 заменяме зя същото тегло 6 монети по 10 и със всяка операция прибавяме 35, но понеже няма друга възможна операция с която да прибавим различен брой фридове ,а 887 не се дели на 35.=> не може

То... това им е хубаво на задачите от Олимпиада, ПМС - могат да се решат по различен начин.
Разбира се, остават надеждите проверяващите да четат внимателно решенията

[Jeorjina]

wizi,
Според мен посочения твой втори вариант има още едно измерение:

4-ри вариант
горен ред  Б-Б
                \  \
                 Ч-Ч

долен ред  Ч-Ч
                 \  \
                  Б-Ч
, но може и да греша!

[wizi]

wizi,
Според мен посочения твой втори вариант има още едно измерение:

4-ри вариант
горен ред  Б-Б
                \  \
                 Ч-Ч

долен ред  Ч-Ч
                 \  \
                  Б-Ч
, но може и да греша!

Този вариант дали не е получен чрез ротация на вариант 2?  Jeorjina какво ще каже, моля нека направи справка в нейния учебник.

[Diki]

Русе също са публикували резултати. Дали и Софийското РИО ще последва примера им скоро

[Дидева]

Резултати - Добрич

Кюстендил

Силистра

[Neda]

Изглежда и Шумен са публикували резултати, но не мога да отворя файла:


http://85.14.61.29:8080/alfresco/guestDownload/file154.pdf?path=/company_home/Public/2013-2014/regio_math_2014.pdf