[Ant12]

Бихте ли ми помогнали със следната задача:Какъв най-голям брой различни естествени числа,не по-големи от 2008,могат да се изберат,така че които и две да изберем,сумата има да не се дели на разликата им?
П.С. Честита нова година!Нека бъде много успешна и изпълнена само с хубави емоции!

Сумата на всеки две от три последователни естествени числа – k, k + 1, k + 2 се дели на тяхната разлика.

Групираме числата 1, 2, 3, . . . , 2007, 2008 в 670 групи – 669 групи от три последователни числа и 1 група от едно число (2008 = 669.3 + 1):

(1, 2, 3); (4, 5, 6); (7, 8, 9); . . . ; (2005, 2006, 2007); (2008).

От всяка група може да изберем най-много по едно число и следователно може да изберем най-много 670 числа.

От друга страна, числата 1, 4, 7, . . . , 2005, 2008 са 670 на брой и изпълняват търсеното условие.

Всяко от тях дава остатък 1 при деление на 3 и следователно разликата на произволни две от тях при деление на 3 дава остатък 0, а сумата им – остатък 2, което означава, че сумата на тези числа не може да бъде кратна на тяхната разлика (в противен случай и сумата щеше да се дели на 3).   

[Ant12]

Може ли да помоля за помощ при решаването на тази задача за 8 клас:
Точките G1 и G2 са медицентрове на триъгълниците АBD и ABC в трапеца ABCD. Докажете, че правата G1G2 е успоредна на основите и намерете отсечката G1G2, ако CD = а см.
И....... да Ви пожелая Здрава, Щастлива и Успешна Новата 2015 Година!

Нека М е среда на основата АВ. DM и СМ са медиани съответно в ΔABD и ΔАВС.

Следователно, G₁ лежи на DM, DM = 3G₁M и G₂ лежи на CM, CM = 3G₂M 

вектор DС = вектор DM + вектор MС = 3 × вектор G₁M + 3 × вектор MG₂ =
= 3 × (вектор G₁М + вектор MG₂) = 3 × вектор G₁G₂.

Следователно G₁G₂║CD║AB и G₁G₂ = ^a/₃.

Това е задача на ниво училищен материал за 8-ми клас. 

[Ant12]

Моля някой да помогне с 2 задачки за 12 клас грам не разбирам от тях ...
Зад:1: 4ъгълна пирамида : S1=96 , a=6 търси се:k,l,h,S,V
Зад:2: 6 ъгълна пресечена: а=8 а1=4 h=2 търси се : k,l,S,V,S1 това е за двете трябва да има чертеж и решението благодаря ви предварително ..

На мен лично, означенията S₁, k, l, h, S, V не ми говорят абсолютно нищо.

От друга страна, ако се проследи темата, нейната идея е по-скоро да помага при решение на задачи на ниво олимпиада за 5 - 8/9 клас, отколкото при решение на задачи от домашни в училище или от матури.

[eliana]

Нека М е среда на основата АВ. DM и СМ са медиани съответно в ΔABD и ΔАВС.

Следователно, G₁ лежи на DM, DM = 3G₁M и G₂ лежи на CM, CM = 3G₂M 

вектор DС = вектор DM + вектор MС = 3 × вектор G₁M + 3 × вектор MG₂ =
= 3 × (вектор G₁М + вектор MG₂) = 3 × вектор G₁G₂.

Следователно G₁G₂║CD║AB и G₁G₂ = ^a/₃.

Това е задача на ниво училищен материал за 8-ми клас. 

Съвсем точно казано- училищен материал 8 клас. Има си конкретна Права и Обратна теорема за триъгълника DСМ , доказваща търсената успоредност.

[EliG]

Да помоля за решение или обяснение на даденото решение на задача 6 от Роман Хайнацки 2008 за 6 клас:
http://klasirane.com/RH.asp

[Ant12]

Това е неравенството на Несбит (Nesbitt’s Inequality). Ако напишем в Интернет proof of Nesbitt’s Inequality, ще излязат страшно много неща.

На линка по-долу, например, има 24 различни доказателства.

http://trungtuan.files.wordpress.com/2011/01/how-many-proofs-of-the-nesbitts-inequanlity.pdf

Дълбоко се съмнявам, че през 2008-а е имало дори един 6-токласник решил тази задача.

По принцип, неравенствата започват да се появяват по-масово по състезанията чак към 8-ми клас.

[EliG]

Много благодаря, Ant!
Избрах второто доказателство, като най-достъпно за разбиране и сега ще й го обясня.
Нямам представа дали е имало 6-класник, който да я реши тази задача, но и не само тя се явява доста трудна за детето. Явно това състезание изисква специална и сериозна подготовка.

[KOD]

Много благодаря, Ant!
Избрах второто доказателство, като най-достъпно за разбиране и сега ще й го обясня.
Нямам представа дали е имало 6-класник, който да я реши тази задача, но и не само тя се явява доста трудна за детето. Явно това състезание изисква специална и сериозна подготовка.

Не бих залитал особено в тази посока, Хайнацки има хубави задачи, но има и сериозни недоразумения според мен, доброто представяне зависи от интерпретации, които нямат особена връзка с математиката понякога...

[aleksandra42]

Много ви благодаря!

[aleksandra42]

Бихте ли ми помогнали със следната задача:
Клетките на квадрат n x n са оцветени в черен и бял цвят със следното условие: не могат да бъдат в един цвят никои четири клетки, в които се пресичат два реда и два стълба. Колко най-много може да бъде n?

[Ant12]

Бихте ли ми помогнали със следната задача:
Клетките на квадрат n x n са оцветени в черен и бял цвят със следното условие: не могат да бъдат в един цвят никои четири клетки, в които се пресичат два реда и два стълба. Колко най-много може да бъде n?

Отг.: n = 4.

Първо ще докажем, че при n ≥ 5 винаги може да намерим два стълба и две колони такива, че четирите клетки, в които те се пресичат са едноцветни.

Нека n ≥ 5. Разглеждаме долния ляв квадрат с размери 5 × 5, който е част от квадрата n × n.

Най-лявата колона на квадрата 5 × 5 съдържа 5 клетки и следователно, според принципа на Дирихле, поне три от клетките са оцветени в един и същ цвят. Без ограничение на общността може да приемем, че трите едноцветни клетки са черни.

Разглеждаме само тези три реда на квадрата 5 × 5, чиято най-лява клетка е черна (може да имаме повече от три реда, чиято най-лява клетка е черна, но избираме само три). Ще наричаме тези редове „черни”.

Разглеждаме клетките, в които трите черни реда пресичат всяка от останалите четири колони (без най-лявата) на квадрата 5 × 5. Ще наричаме тези клетки „пресечни”. Ако има колона, която съдържа поне две черни пресечни клетки, то тази колона, първата колона и двата черни реда, които съдържат двете черни пресечни клетки ще се пресичат в четири черни клетки.

Ч . . . Ч . . .
. . . . . . . . .
Ч . . . Ч . . .

Нека няма колона (освен най-лявата), която съдържа две черни пресечни клетки. Тогава има четири варианта за оцветяване на пресечните клетки в една колона:

Б     Б     Б     Ч
Б     Б     Ч     Б
Б     Ч     Б     Б

Нека има колона, която съдържа три бели пресечни клетки. Ще наричаме тази колона „бяла”. Всяка от останалите три колони съдържа поне по две бели пресечни клетки (няма колона, която съдържа две черни пресечни клетки). Избираме една от останалите три колони и тогава избраната колона, бялата колона и двата черни реда, които съдържат двете бели пресечни клетки от избраната колона ще се пресичат в четири бели клетки.

Ч . . . Б . . . Б . . .
. . . .  Б . . . . . . . 
Ч . . . Б . . . Б . . .

Нека няма колона, която съдържа три бели пресечни клетки. Тогава пресечните клетки в четирите колони (без най-лявата) могат да бъдат оцветени по три различни начина:

Б     Б     Ч
Б     Ч     Б
Ч     Б     Б

Следователно, има две колони, в които пресечните клетки са оцветени по един и същ начин. Ще наричаме тези две колони „еднакви”. Двете еднакви колони и двата черни реда, които съдържат двойките бели пресечни клетки от еднаквите колони ще се пресичат в четири бели клетки.

Ч . . . Б . . . Б . . .
Ч . . . Б . . . Б . . .

Сега трябва да конструираме пример за квадрат 4 × 4, в който няма два стълба и две колони такива, че четирите клетки, в които те се пресичат да са едноцветни.

Б     Ч     Б     Ч
Ч     Б     Ч     Б
Б     Б     Ч     Ч
Ч     Ч     Б     Б

P.S. Хубава, нелека състезателна задача.

[aleksandra42]

Благодаря за чудесното решение! Бихте ли ми помогнали с още едно задача:
Колко са петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си имат поне една цифра 3?

[Ant12]

Благодаря за чудесното решение! Бихте ли ми помогнали с още едно задача:
Колко са петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си имат поне една цифра 3?

Отг.: 12 504

Ще намерим броя на петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си имат поне една цифра 3, като от броя на всички петцифрени числа, които се делят на 3, извадим броя на петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си НЯМАТ нито една цифра 3.

Петцифрените числа са 99 999 – 9 999 = 90 000 на брой. Всяко трето от тях се дели на 3 и следователно, броя на петцифрените числа, които се делят на 3 е 30 000. Това са числата 10 002 = 3 × 3 334, 10 005 = 3 × 3 335, . . . , 99 999 = 3 × 33 333.

Сега ще намерим броя на петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си НЯМАТ нито една цифра 3.

Може да изберем първата цифра по 8 различни начина – всички цифри без 0 и 3.

Втората, третата и четвъртата цифра може да изберем по 9 различни начина – всички цифри без 3.

След като сме избрали първите четири цифри, трябва да определим по колко различни начина може да изберем петата цифра.

Ако числото образувано от първите четири цифри се дели на 3, то може да изберем петата цифра по три различни начина – 0, 6 или 9.   

Ако числото образувано от първите четири цифри дава остатък 1 при деление на 3, то може да изберем петата цифра по три различни начина – 2, 5 или 8.   

Ако числото образувано от първите четири цифри дава остатък 2 при деление на 3, то може да изберем петата цифра по три различни начина – 1, 4 или 7.

Следователно, ако вече сме избрали първите четири цифри, петата цифра може да бъде избрана по три различни начина.

Тогава, броя на петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си НЯМАТ нито една цифра 3 е равен на 8 × 9 × 9 × 9 × 3 = 17 496.

Броя на на петцифрените числа, които се делят на 3 и в записа си имат поне една цифра 3 е равен на 30 000 – 17 496 = 12 504.   

[aleksandra42]

Благодаря ви!Бихте ли ми помогнали с една друга задача:
Няколко различни естествени числа имат следното свойство:сборът на всеки четири от тях е просто число.Колко най-много могат да бъдат тези числа?