[gorkia]

Да помоля решението на една задача:

Числата 2¹⁰⁰⁰ и 5¹⁰⁰⁰ са написани едно до друго в десетичен запис. Колко цифри общо са написани?

Нека 5¹⁰⁰⁰ да има а цифри, а 2¹⁰⁰⁰ да има b цифри
=>10^а-1<5¹⁰⁰⁰<10^a и
    10^b-1<2¹⁰⁰⁰<10^b, като умножим тези два реда се получава:
    10^a+b-2<10¹⁰⁰⁰<10^a+b
=> 1000=a+b-1 =>a+b=1001
ПП. Не съм сигурен в решението

[EliG]

Показах го на щерката, разбра го и каза, че е супер готино решение. Много ти благодаря!

[Г.Георгиева]

Моля за решение на следната задача: по колко начина могат да бъдат избрани три различни числа от числата от 1 до 12, така че тяхната сума да се дели точно на 3. Много Ви моля, ако някой пише, да има предвид, че решението трябва да го разбере четвъртокласник /и майка му.../

[mitko5bmg]

От 1 до 12 има по 4 числа даващи остатъци съответно 1,2 и 3.
За да се дели сумата на 3, възможните остатъци на трите числата са:
(0,0,0)
(1,2,3)
(1,1,1)
(2,2,2)
В първата, третата и четвъртата възможност има по комбинация 4 от 3-ти клас възможности,
а във втората трябва да се избере по 1 число от всеки остатък или 4.4.4 възможности.
Общо всички възможности стават 4^3+3.(4.3.2:6)=64+12=76.

[Г.Георгиева]

От 1 до 12 има по 4 числа даващи остатъци съответно 1,2 и 3.
За да се дели сумата на 3, възможните остатъци на трите числата са:
(0,0,0)
(1,2,3)
(1,1,1)
(2,2,2)
В първата, третата и четвъртата възможност има по комбинация 4 от 3-ти клас възможности,
а във втората трябва да се избере по 1 число от всеки остатък или 4.4.4 възможности.
Общо всички възможности стават 4^3+3.(4.3.2:6)=64+12=76.
[/quote]
Само един единствен въпрос имам: защо, ако първото нещо, което хлапетата учат за деление с остатък, е, че остатъкът трябва да е по-малък от делителя, как така при деление с 3 ще се получи остатък 3? Всичко друго е ясно, дори странното деление 1:3 и 2:3  с цел получаване на някакви остатъци, които да се подредят в някакви групи... Моля Ви за още няколко реда помощ!

[mitko5bmg]

Не, не объркал съм се! Там където пише 3 трябва да е 0. Извинявам се.

[Г.Георгиева]

Много сме Ви благодарни! Всъщност, сутрин изглежда по-лесно за разбиране, отколкото вечер.

[tinkerbell]

Нещо съм сбъркала, а грешка не виждам (детето по телефона също не намери грешка)

Една игра ще наричаме равностойна, ако в нито един момент разликата между двата отбора не е повече от 2 гола. По колко начина могат да се вкарат първите 12 гола при равностойна игра.

И моето решение: Подреждаме 12 плочки, които съответстват на 12-те гола в редица. Оцветяваме плочките в бяло, ако е вкарал гол първият отбор, или в черно за втория. За равностойна игра не трябва да имаме три (или повече) бели, или черни последователни плочки. Разделяме 12-те плочки на групи от по 3. Имаме 4 подходящи начина да подредим 3 плочки: а/ ЧБЧ б/ БЧБ в/ ЧЧБ г/ББЧ. Вече ще работим само с тройни плочки от горните видове. След като сме сложили първата тройна плочка, нататък за да продължим имаме по 3 възможности. Ако сме сложили първо а/, после можем да продължим с всички без в/, ако сме сложили б/ продължаваме с всички без г/, ако сме сложили в/ с всички без г/ и ако сме сложили г/ с всички без в. Продължаваме със същите разсъждения и за 3-тата и за 4-тата тройни плочки => броят начини е 4*3*3*3. Е да, ама не. В отговора има още едно умножение по 9.

[gorkia]

Нещо съм сбъркала, а грешка не виждам (детето по телефона също не намери грешка)

Една игра ще наричаме равностойна, ако в нито един момент разликата между двата отбора не е повече от 2 гола. По колко начина могат да се вкарат първите 12 гола при равностойна игра.

И моето решение: Подреждаме 12 плочки, които съответстват на 12-те гола в редица. Оцветяваме плочките в бяло, ако е вкарал гол първият отбор, или в черно за втория. За равностойна игра не трябва да имаме три (или повече) бели, или черни последователни плочки. Разделяме 12-те плочки на групи от по 3. Имаме 4 подходящи начина да подредим 3 плочки: а/ ЧБЧ б/ БЧБ в/ ЧЧБ г/ББЧ. Вече ще работим само с тройни плочки от горните видове. След като сме сложили първата тройна плочка, нататък за да продължим имаме по 3 възможности. Ако сме сложили първо а/, после можем да продължим с всички без в/, ако сме сложили б/ продължаваме с всички без г/, ако сме сложили в/ с всички без г/ и ако сме сложили г/ с всички без в. Продължаваме със същите разсъждения и за 3-тата и за 4-тата тройни плочки => броят начини е 4*3*3*3. Е да, ама не. В отговора има още едно умножение по 9.

Може да има 3, даже 4 последователни еднакви плочки. Пример:
Б Б Ч Ч Ч Ч Б Б Ч Б Ч Б Ч Б

[tinkerbell]

 

Може да има 3, даже 4 последователни еднакви плочки. Пример:
Б Б Ч Ч Ч Ч Б Б Ч Б Ч Б Ч Б

Умрях от срам. Хубаво, де, за да ми е вярно решението префасонираме задачата на : Една лехичка ще наричаме красива, ако няма засадени 3 или повече последователни еднакви цветя. Колко различни красиви лехички могат да се направят от 12 лалета и теменужки. 

Реших я оригиналната задача грозно с изброяване (точките след числата си ги сложи редактора на айпада и не ми се трият) И получих отговора. Броя колко са с разлика
             2 гола, 1 гол, 0 гола, -1 гол, -2 гола.
1                0          1         0.      1.          0
2.               1.         0.        2.      0.          1
3.               0.         3.        0.       3.         0
4.               3.          0.        6.       0.         3
5.               0.          9.        0.       9.         0
6.                9.          0.       18.      0.         9
7.                0.          27.      0.       27.       0
8.                27.         0.       2*27.  0.        27
9.                0.          3*27.   0.       3*27.    0
10.              3*27.      0.       6*27.   0.        3*27
11.                 0.         9*27.   0.      9*27.   0
12.               9*27.      0.      2*9*27  0.       9*27

Т.е. при 12-тия гол имаме 9*27+2*9*27+9*27 = 4*9*27 = 972 възможности.
Добре, че не се питаше при 36-тия гол.
Хм, понеже това е 30-та зад. от АК 2013, т.е. трябва да се реши за макс 2-3 мин., приветствам всякакви по-елегантни решения.

[Pomakova]

тази задача преди две години бе обсъждана мисля, че в математически турнири, тогава бащата на Б.Антов показа решение, разровете се в старите теми, мисля, че май никой не можа да я реши от България

[tinkerbell]

Мерси много, Помакова. Намерих. http://www.bg-mamma.com/index.php?topic=731059.75;topicrefid=20 Същото е решението - официален термин "дърво на възможностите".

[Ant12]

Това е решение като за деца 5-6 клас.

За по-големи.

Нека S(n) е броят начини, по които може да се стигне до общ резултат от n гола, като в нито един момент разликата в резултата не е повече от 2 гола.

Ще докажем, че при нечетно n = 2k –1 , S(2k – 1) = 2.3^k-1, а при четно n = 2k, S(2k) = 4.3^k-1, където k ≥ 1.

Нека а_x,y е броят начини, по които може да се достигне до резултат x : y.

S(2k) = a_k+1,k-1 + a_k,k + a_k-1,k+1
a_k+1,k-1 = a_k,k-1 (до резултат k+1 : k-1 може да се стигне само от резултат k : k-1)
a_k,k = a_k,k-1 + a_k-1,k
a_k-1,k+1 = a_k-1,k

S(2k) = a_k,k-1 + a_k,k-1 + a_k-1,k + a_k-1,k = 2(a_k,k-1 + a_k-1,k) = 2S(2k – 1)

S(2k + 1) = a_{k+1, k} + a_k,k+1
a_k+1,k = a_k+1,k-1 + a_k,k
a_k,k+1 = a_k,k + a_k-1,k+1

S(2k + 1) = a_k+1,k-1 + 2a_k,k + a_k-1,k+1 =  a_k,k-1 + 2(a_k,k-1 + a_k-1,k) + a_k-1,k = 3(a_k,k-1 + a_k-1,k) = 3S(2k - 1)

Сега вече доказателството е елементарно по индукция.

При k = 1 имаме S(1) = S(2.1 – 1) = 2 = 2.3⁰ = 2.3^1-1 и S(2) = S(2.1) = 4 = 4.3⁰ = 4.3^1-1.     

Да допуснем, че за някое k = m, S(2m – 1) = 2.3^m-1 и S(2m) = 4.3^m-1.

Тогава, при k = m + 1 получаваме,
S(2m + 1) = 3S(2m - 1) = 2.3^m и S(2m + 2) = 2S(2m + 1) = 4.3^m.

С това индукцията е завършена.

[aleksandra42]

Може ли помощ за следната задача:Рибар всеки ден улавя поне по 1 риба,но за 10 дни улавя не-повече от 15 риби.Да се докаже,че съществуват няколко последователни дни,през които той е уловил точно 200 риби.