[Ant12]

Може ли помощ за следната задача:Рибар всеки ден улавя поне по 1 риба,но за 10 дни улавя не-повече от 15 риби.Да се докаже,че съществуват няколко последователни дни,през които той е уловил точно 200 риби.

Нека f₁, f₂, . . . , f₅₀₀ е броя риби, които рибарят съответно е уловил във всеки един от 500 последователни дни.

От условието следва, че f_i ≥ 1 > 0, за всяко i = 1, 2, . . . , 500 и
f_j + f_j+1 + . . . + f_j+9 ≤ 15, за всяко j = 1, 2, . . . , 491.

Конструираме две редици {A} и {B} по следния начин:
{A}: A₁ = f₁; A₂ = f₁ + f₂; A₃ = f₁ + f₂ + f₃; . . . ; A₅₀₀ = f₁ + f₂ + . . . + f₅₀₀ и
{B}: B₁ = А₁ + 200; B₂ = А₂ + 200; B₃ = А₃ + 200; . . . ; B₅₀₀ = А₅₀₀ + 200.

Ясно е, че 1 ≤ А₁ < А₂ < А₃ < . . . < А₅₀₀ ≤ 50.15 = 750, защото
А_k = A_k-1 + f_k ≥ A_k-1 + 1 > A_k-1 за всяко k = 2, 3, . . . , 500 и
освен това интервалът от 500 последователни дни може да се раздели на 50 интервала от по 10 последователни дни, във всеки от които са уловени не повече от 15 риби.

Следователно 201 ≤ B₁ < B₂ < B₃ < . . . < B₅₀₀ ≤ 950.

Числата А₁, А₂, . . . , А₅₀₀, B₁, B₂, . . . , B₅₀₀ са естествени, всяко от тях е не по-голямо от 950 и са общо 1000 на брой. Следователно, според принципа на Дирихле, поне две от тези числа трябва да бъдат равни.

От друга страна, не може да има две равни числа от редица {A} или две равни числа от редица {B}. Следователно има число от редица {А}, което е равно на някое число от редица {B}.

Следователно съществуват естествени числа 1 ≤ m < n ≤ 500 такива, че
A_n = B_m = A_m + 200   =>   A_n – A_m = 200   =>
(f₁ + f₂ + . . . + f_n) – (f₁ + f₂ + . . . + f_m) = 200   =>
f_m+1 + f_m+2 + . . . + f_n-1 + f_n = 200.

С това задачата е решена.

[aleksandra42]

Благодаря!Ако може помощ и за още една:По колко начина можем да подредим в редица 4 момчета и 8 момичета,така че всяко момче да е между две момичета?

[evgeny]

Нареждаме 8-те момичета в редица, което може да стане по 8! начина.

След това трябва в някои позиции между тях да се "пъхнат" 4 момчета.

Сега имаме 7 места за 4 момчета, като на едно място не може да имаме повече от 1 момче. Първото можем да сложим на 7 поциции и т.н. четвъртото на 4-те останали.
Като умножим 8!.7.6.5.4, получаваме искания отговор.

[Sherlock]

Здравейте,
Бих искал да попитам за решението на следната задача:
Ако p и q са прости числа, по-големи от 3, да се докаже, че числото M=7p^2-5q^2-2 се дели на 24.
Задачата е за седми клас. Благодаря предварително!!!

[Ant12]

Здравейте,
Бих искал да попитам за решението на следната задача:
Ако p и q са прости числа, по-големи от 3, да се докаже, че числото M=7p^2-5q^2-2 се дели на 24.
Задачата е за седми клас. Благодаря предварително!!!

Решение 1

Първо ще докажем, че за всяко просто число p > 3, числото p² – 1 се дели на 24.

Понеже p > 3 е просто и следователно нечетно, то числата p – 1 и p + 1 са последователни четни числа.
От две последователни четни числа едното винаги се дели на 4 и следователно числото
(p – 1)(p + 1) = p² – 1 се дели на 8.

Числата p – 1, p и p + 1 са три последователни числа и следователно точно едно от тях се дели на 3.
Понеже p > 3 е просто и следователно не се дели на 3, то някое от числата p – 1 или p + 1 трябва да се дели на 3.
Тогава и числото (p – 1)(p + 1) = p² – 1 се дели на 3.

Понеже p² – 1 се дели едновременно на 3 и на 8, а 3 и 8 са взаимно прости,
то p² – 1 се дели на 24.

Аналогично и q² – 1 се дели на 24.

M = 7p² – 5q² – 2 = 7p² – 7 – 5q² + 5 =
= 7(p² – 1) – 5(q² – 1) и следователно се дели на 24.     

Решение 2

Понеже p > 3 е просто число, то трябва да има вида p = 6m ± 1, където m е естествено число
(числата 6m, 6m ± 2 и 6m + 3 не могат да бъдат прости).

Тогава p² – 1 = (6m ± 1)² – 1 = 36m² ± 12m + 1 – 1 =
= 36m² ± 12m = 24m² + 12 m² ± 12m =
= 24m² + 24.^{m(m ± 1)}/₂.

Числата m и m ± 1 са последователни, следователно точно едното от тях е четно,
откъдето следва, че числото ^{m(m ± 1)}/₂ е цяло.
Следователно p² – 1 се дели на 24.   

[Sherlock]

Много благодаря и за двете решения!!!

[trlapkov]

Нуждая се от вашата помощ, ако може със подробно решение. Благодаря предварително.


Условие:

1. 5 къщи, всяка с различен цвят.
2. Във всяка къща живее един човек.
3. Всеки от тях предпочита определено питие, пуши определен вид цигари и гледа едно домашно животно.
4. Никой от 5-те човека не пие същото питие, не пуши същите цигари и не гледа същото животно като някой друг.

Въпрос: Кой гледа рибката?

Указания:
1. Англичанинът живее в червената къща.
2. Шведът гледа куче.
3. Датчанинът пие чай.
4. Зелената къща е отляво на бялата.
5. Норвежецът живее в първата къща.
6. Собственикът на зелената къща пие кафе.
7. Човекът, който пуши Pall Mall гледа птичка.
8. Мъжът в средната къща пие мляко.
9. Собственикът на жълтата къща пуши Dunhill.
10. Пушачът на Marlboro живее до този, който гледа котка.
11. Мъжът, който гледа кон, живее до този, който пуши Dunhill.
12. Пушачът на Winfield пие бира.
13. Норвежецът живее до синята къща.
14. Немецът пуши Rothmans.
15. Пушачът на Malboro има съсед, който пие вода.

[Sherlock]

Нуждая се от вашата помощ, ако може със подробно решение. Благодаря предварително.


Условие:

1. 5 къщи, всяка с различен цвят.
2. Във всяка къща живее един човек.
3. Всеки от тях предпочита определено питие, пуши определен вид цигари и гледа едно домашно животно.
4. Никой от 5-те човека не пие същото питие, не пуши същите цигари и не гледа същото животно като някой друг.

Въпрос: Кой гледа рибката?

Указания:
1. Англичанинът живее в червената къща.
2. Шведът гледа куче.
3. Датчанинът пие чай.
4. Зелената къща е отляво на бялата.
5. Норвежецът живее в първата къща.
6. Собственикът на зелената къща пие кафе.
7. Човекът, който пуши Pall Mall гледа птичка.
8. Мъжът в средната къща пие мляко.
9. Собственикът на жълтата къща пуши Dunhill.
10. Пушачът на Marlboro живее до този, който гледа котка.
11. Мъжът, който гледа кон, живее до този, който пуши Dunhill.
12. Пушачът на Winfield пие бира.
13. Норвежецът живее до синята къща.
14. Немецът пуши Rothmans.
15. Пушачът на Malboro има съсед, който пие вода.

Всъщност това е така наречената задача на Анщайн. Доколкото ми е известно, според статистиката само около 2% от населението на земята може да я реши. Отговора е, че притежателят на рибата е немецът. Но решението е твърде дълго, за да го напиша (Мързи ме!!!!! )

[chavgova88@mail.bg]

т. М е от вътрешността на успоредника АВСД. Да се докаже, че лицето на АВМ + лицето на СДМ = лицето на ВСМ + лицето на АДМ = 1/2 от лицето на АВСД.
Моля за помощ при решението на задачата,
Благодаря предварително.

[Sherlock]

т. М е от вътрешността на успоредника АВСД. Да се докаже, че лицето на АВМ + лицето на СДМ = лицето на ВСМ + лицето на АДМ = 1/2 от лицето на АВСД.
Моля за помощ при решението на задачата,
Благодаря предварително.

Нека дължината на АВ=а. Тогава следва, че CD също е равно на а. Следва, че лицето на CDM е равно на а*h1/2, а лицето на ВМС е равно на а*h2/2. Като съберем лицата на АВМ и CDM получаваме:
а*h1/2+а*h2/2=а.H/2
Тъй като лицето на ABCD е a*H, то следва, че сбора от лицата на АВМ и CDM е половината от лицето на ABCD.
Аналогичното правим и за BCM и AMD.
С това решението на задачата е приключено.

[chavgova88@mail.bg]

Докажете, че ако 7 дели числото ab, то 7 дели ba+a.

[Ant12]

Докажете, че ако 7 дели числото ab, то 7 дели ba+a.

Това не е вярно.

Нека а = 6 и b = 7 (ab = 42 се дели на 7).

ba + a = 7.6 + 6 = 48, което не се дели на 7.

[Ant12]

Това не е вярно.

Нека а = 6 и b = 7 (ab = 42 се дели на 7).

ba + a = 7.6 + 6 = 48, което не се дели на 7.

Сега се сетих, че най-вероятно ab е двуцифрено число
и а и b са неговите цифри.

Щом ab се дели на 7, то ab = 7k, за някое естествено число k,
т.е. 10a + b = 7k, откъдето b = 7k – 10a.

Тогава ba + a = 10b + a + a = 10b + 2a =
= 10(7k – 10a) + 2a = 70k – 100a + 2a =
= 70k – 98a = 7(10k – 14a).

[gorkia]

В кутия има 5 бели и 5 черни топки. Четирима последователно изваждат по 2 топки. Вероятността и четиримата да извадят разноцветни топки е записана в несъкратима дроб. Да се намери сумата на числителя и знаменателя на тази дроб.