Може ли помощ за следната задача:Рибар всеки ден улавя поне по 1 риба,но за 10 дни улавя не-повече от 15 риби.Да се докаже,че съществуват няколко последователни дни,през които той е уловил точно 200 риби.
Нека f
1, f
2, . . . , f
500 е броя риби, които рибарят съответно е уловил във всеки един от 500 последователни дни.
От условието следва, че f
i ≥ 1 > 0, за всяко i = 1, 2, . . . , 500 и
f
j + f
j+1 + . . . + f
j+9 ≤ 15, за всяко j = 1, 2, . . . , 491.
Конструираме две редици {A} и {B} по следния начин:
{A}: A
1 = f
1; A
2 = f
1 + f
2; A
3 = f
1 + f
2 + f
3; . . . ; A
500 = f
1 + f
2 + . . . + f
500 и
{B}: B
1 = А
1 + 200; B
2 = А
2 + 200; B
3 = А
3 + 200; . . . ; B
500 = А
500 + 200.
Ясно е, че 1 ≤ А
1 < А
2 < А
3 < . . . < А
500 ≤ 50.15 = 750, защото
А
k = A
k-1 + f
k ≥ A
k-1 + 1 > A
k-1 за всяко k = 2, 3, . . . , 500 и
освен това интервалът от 500 последователни дни може да се раздели на 50 интервала от по 10 последователни дни, във всеки от които са уловени не повече от 15 риби.
Следователно 201 ≤ B
1 < B
2 < B
3 < . . . < B
500 ≤ 950.
Числата А
1, А
2, . . . , А
500, B
1, B
2, . . . , B
500 са естествени, всяко от тях е не по-голямо от 950 и са общо 1000 на брой. Следователно, според принципа на Дирихле, поне две от тези числа трябва да бъдат равни.
От друга страна, не може да има две равни числа от редица {A} или две равни числа от редица {B}. Следователно има число от редица {А}, което е равно на някое число от редица {B}.
Следователно съществуват естествени числа 1 ≤ m < n ≤ 500 такива, че
A
n = B
m = A
m + 200 => A
n – A
m = 200 =>
(f
1 + f
2 + . . . + f
n) – (f
1 + f
2 + . . . + f
m) = 200 =>
f
m+1 + f
m+2 + . . . + f
n-1 + f
n = 200.
С това задачата е решена.