ТЕМА за 7-8 клас
1. Ще наричаме едно число „съвсем четно”, ако всичките му цифри са четни. Колко са трицифрените „съвсем четни” числа, които са кратни на 3?
А) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) повече от 33
2. Върху хипотенузата АВ на правоъгълен ΔАВС е построен квадрат с пресечна точка на диагоналите О така, че точките О и С са в различни полуравнини относно АВ. Правата СО пресича страната АВ в точка К. Ако ВС : АС = 5 : 3, то отношението АК : ВК е равно на:
А) 5 : 3 B) 7 : 9 C) 2 : 3 D) 3 : 5 E) 3 : 2
3. За четири различни естествени числа a, b, c и d е съставена таблица за събиране с 16 клетки (4 × 4). Най-много колко прости числа могат да са записани в празните клетки на таблицата?
+ a b c d
a _ _ _ _
b _ _ _ _
c _ _ _ _
d _ _ _ _
А) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
4. В изпъкналия четириъгълник ABCD точката Е е средата на CD, точката F е средата на AD, а отсечките АС и ВЕ се пресичат в точка К. Ако лицето на триъгълника АВС е 24 см2, то лицето на триъгълника BKF е:
А) 10 см2 B) 12 см2 C) 14 см2 D) 16 см2 E) 18 см2
5. За всяка тройка естествени числа дефинираме операцията ◊ чрез тъждествата
x ◊ (y ◊ z) = (x ◊ y) + z и x ◊ (x ◊ y) = y. На колко е равно 2014 ◊ 1949?
А) 3963 B) 2014 C) 1949 D) 65 E) 0
6. Нека n е естествено число и s(n) е сборът от цифрите на това число. Решете уравнението
n + s(n) + s(s(n)) + s(s(s(n))) = 2014.
7. Дадени са 2014 различни ненулеви числа а1, а2, . . . , а2014, както и произведенията на всички двойки съседни числа а1.а2, а2.а3, . . . , а2013.а2014. Намерете възможно най-големия брой отрицателни числа измежду дадените 4027 числа.