Бихте ли ми помогнали със следната задача:Множеството на естествените числа е разделено на две непресичащи се множества.Винаги ли в едно от тях могат да се намерят такива две числа,средноаритметичното на които също принадлежи на това подмножество?
Отговор:
винаги могат да се намерят две числа, чието средно аритметично принадлежи на същото подмножество.
1. Ако в някое от подмножествата има три последователни числа – N, N + 1, N + 2, то N + 1 e средно аритметично на N и N + 2 и условието е изпълнено.
2. Ако нито едно от подмножествата не съдържа две последователни числа – N и N + 1, то всички нечетни числа са в едното подмножество, а всички четни в другото, следователно числата 1, 3, 5 са в едно подмножество и условието е изпълнено (1 + 5 = 2.3).
3. Нека подмножествата не съдържат три последователни числа, но могат да съдържат две последователни числа.
Означаваме подмножествата с А и В и нека А е това подмножество, което съдържа числото 5.
Да допуснем противното: нито А, нито В съдържат три числа, едното от които е средно аритметично на другите две.
3.1. Ако 6 е в А, то 4 и 7 трябва да са в В.
Тогава 1 (1 + 7 = 2.4) и 10 (4 + 10 = 2.7) трябва да са в А (1, 5, 6, 10 са в А).
Следователно 8 (6 + 10 = 2.8) и 9 (1 + 9 = 2.5) трябва да са в В, но тогава 7, 8 и 9 са В – противоречие.
3.2. Нека 6 е в В. Ще разгледаме два случая: 4 е в А и 4 е в В.
3.2.1. Ако 4 е в А, то 3 е в В.
Тогава 9 е в А (3 + 9 = 2.6).
Следователно 7 е в В (5 + 9 = 2.7).
Следователно 8 и 11 са в А (6 и 7 са в В и 3 + 11 = 2.7).
Числата 5, 8 и 11 са в А, но 5 + 11 = 2.8 – противоречие.
3.2.2. Ако 4 е в В, то 2 (2 + 6 = 2.4) и 8 (4 + 8 = 2.6) са в А.
Тогава 2, 5 и 8 са в А, но 2 + 8 = 2.5 – противоречие.