Това е решение като за деца 5-6 клас.
За по-големи.
Нека S(n) е броят начини, по които може да се стигне до общ резултат от n гола, като в нито един момент разликата в резултата не е повече от 2 гола.
Ще докажем, че при нечетно n = 2k –1 , S(2k – 1) = 2.3k-1, а при четно n = 2k, S(2k) = 4.3k-1, където k ≥ 1.
Нека аx,y е броят начини, по които може да се достигне до резултат x : y.
S(2k) = ak+1,k-1 + ak,k + ak-1,k+1
ak+1,k-1 = ak,k-1 (до резултат k+1 : k-1 може да се стигне само от резултат k : k-1)
ak,k = ak,k-1 + ak-1,k
ak-1,k+1 = ak-1,k
S(2k) = ak,k-1 + ak,k-1 + ak-1,k + ak-1,k = 2(ak,k-1 + ak-1,k) = 2S(2k – 1)
S(2k + 1) = ak+1, k + ak,k+1
ak+1,k = ak+1,k-1 + ak,k
ak,k+1 = ak,k + ak-1,k+1
S(2k + 1) = ak+1,k-1 + 2ak,k + ak-1,k+1 = ak,k-1 + 2(ak,k-1 + ak-1,k) + ak-1,k = 3(ak,k-1 + ak-1,k) = 3S(2k - 1)
Сега вече доказателството е елементарно по индукция.
При k = 1 имаме S(1) = S(2.1 – 1) = 2 = 2.30 = 2.31-1 и S(2) = S(2.1) = 4 = 4.30 = 4.31-1.
Да допуснем, че за някое k = m, S(2m – 1) = 2.3m-1 и S(2m) = 4.3m-1.
Тогава, при k = m + 1 получаваме,
S(2m + 1) = 3S(2m - 1) = 2.3m и S(2m + 2) = 2S(2m + 1) = 4.3m.
С това индукцията е завършена.